等差数列与等比数列

等差：每次加相同的量

等差数列通过每步加上同一个数来增长。那个固定的数叫公差，记作 d。在 3, 7, 11, 15, … 中你每次加 4，所以 d = 4。你总能用后一项减去前一项来求出 d：d = aₙ₊₁ − aₙ。

要到达第 n 项，你从 a₁ 出发，总共加 d 共 (n − 1) 次——比位置数少一步，因为第一项还没走任何一步。这给出通项公式 aₙ = a₁ + (n − 1)d。注意它关于 n 是线性的，很像斜率为 d 的线性方程。

Arithmetic sequence: 3, 7, 11, 15, ...

a_1 = 3,   d = 7 - 3 = 4

Explicit formula:  a_n = a_1 + (n - 1)d
                   a_n = 3 + (n - 1)(4)
                   a_n = 3 + 4n - 4
                   a_n = 4n - 1

Check the 5th term:  a_5 = 4(5) - 1 = 20 - 1 = 19   (3,7,11,15,19 — yes)

等比：每次乘相同的倍数

等比数列通过每步乘以同一个数来增长。那个固定的乘数叫公比，记作 r。在 5, 10, 20, 40, … 中你每次乘 2，所以 r = 2。你用后一项除以前一项来求出 r：r = aₙ₊₁ / aₙ。

要到达第 n 项，你从 a₁ 出发，总共乘 r 共 (n − 1) 次，给出通项公式 aₙ = a₁ · r^(n − 1)。指数同样是 (n − 1)，原因相同。由于变量 n 位于指数上，等比数列的行为就像在整数处取值的指数函数。

Geometric sequence: 5, 10, 20, 40, ...

a_1 = 5,   r = 10 / 5 = 2

Explicit formula:  a_n = a_1 * r^(n - 1)
                   a_n = 5 * 2^(n - 1)

Check the 4th term:  a_4 = 5 * 2^(4 - 1) = 5 * 2^3 = 5 * 8 = 40   (matches)

如何区分两者

1. 计算相邻项的差 aₙ₊₁ − aₙ。如果它们全相等，则为等差数列，那个常数就是 d。
2. 如果差不恒定，就计算相邻项的比 aₙ₊₁ / aₙ。如果这些比全相等，则为等比数列，那个常数就是 r。
3. 如果差和比都不恒定，则该数列两者都不是——它可能遵循二次、斐波那契式或其他规则。