整环及其分式域
整环是没有零因子的非零交换环：ab = 0 强制 a = 0 或 b = 0。等价地，非零元可消去——这正是你像在整数里那样做代数所需的。把整环变成域的构造模仿了从 Z 造出 Q 的方式：作分式 a/b（b ≠ 0），当 ad = bc 时声明 a/b = c/d，并验证各运算有良好定义。
结果是分式域 Frac(R)，即包含 R 的最小域，并带有泛性质：任何从 R 到某个域的单同态都唯一地经由 Frac(R) 分解。对 R = Z 得到 Q；对 R = k[x] 得到有理函数域 k(x)；对高斯整数 Z[i] 得到 Q(i)。消去律不可或缺——若 R 有零因子，a/b = 0/1 便无法由 ad = bc 检出，该关系也就不再是等价关系。
分解整环之塔
现在进入本指南的核心：三类整环，每一类对因式分解保证得更多。欧几里得整环有一个大小函数（范数 N）支撑带余除法：对 a, b ≠ 0 存在 q, r 使 a = bq + r 且 r = 0 或 N(r) < N(b)。主理想整环（PID）是每个理想都由单个元素生成的整环。唯一分解整环（UFD）是每个非零非单位元都能分解为不可约元、且分解在不计次序与相伴的意义下唯一的整环。
The inclusions Fields ⊂ Euclidean ⊂ PID ⊂ UFD ⊂ Integral domains. Why ED ⇒ PID: Let I ≠ 0 be an ideal. Pick b ∈ I with N(b) minimal among nonzero elements of I. For any a ∈ I divide: a = bq + r, r = a − bq ∈ I. If r ≠ 0 then N(r) < N(b), contradicting minimality. So r = 0, hence a = bq ∈ (b). Thus I = (b) is principal. ∎ Why PID ⇒ UFD (sketch): Noetherian (every ideal f.g.) ⇒ factorizations into irreducibles exist; in a PID irreducible ⇒ prime, which forces uniqueness. Strictness of the chain: Z[(1+√−19)/2] is a PID but NOT Euclidean (no norm works). Z[x] is a UFD but NOT a PID: (2, x) is not principal. Z[√−5] is NOT a UFD: 6 = 2·3 = (1+√−5)(1−√−5).
慢慢走一遍这条严格性之链，因为它是考试经典。环 Z[(1+√−19)/2] 是一个完全没有欧几里得函数的 PID——证明它是 PID 需要一个巧妙的「近欧几里得」（Dedekind-Hasse）论证，而证明它非欧几里得则要排除一切可设想的范数。多项式环 Z[x] 是 UFD（下一指南用高斯引理证明）但不是 PID，由需要两个生成元的理想 (2, x) 见证。而 Z[√−5] 是唯一分解失败的典范：6 有两种真正不同的分解，因为 2、3、1±√−5 全都不可约却非素。
不可约与素
使整座塔运转的关键区分：不可约元不能被拆成两个非单位元之积；素元 p 具有更强的性质 p | ab ⇒ p | a 或 p | b。在整环中素总是蕴含不可约，但反之仅在 UFD 中成立。在 Z[√−5] 中元素 2 不可约却非素——它整除 (1+√−5)(1−√−5) = 6 却不整除任一因子——而正是这一处失败使那里的分解不唯一。