素理想与极大理想

两句口诀

下面是定义，以你应当永久记住的口诀形式给出。一个真理想 P 是素的，若 ab ∈ P 强制 a ∈ P 或 b ∈ P——等价地，R/P 是整环。一个真理想 M 是极大的，若没有理想严格地夹在 M 与 R 之间——等价地，R/M 是域。环论条件与商环条件之间的互译就是全部内容，且两个方向都很短。

Proof that P prime ⇔ R/P is a domain.

  ab ∈ P  ⇔  (a+P)(b+P) = ab + P = 0  in R/P.
  So "ab ∈ P ⇒ a ∈ P or b ∈ P"
     ⇔  "(a+P)(b+P)=0 ⇒ a+P=0 or b+P=0"
     ⇔  R/P has no nonzero zero divisors
     ⇔  R/P is an integral domain.            ∎

Proof that M maximal ⇔ R/M is a field.
  Ideals of R/M  ↔  ideals of R containing M   (correspondence theorem).
  M maximal ⇔ only such ideals are M and R
           ⇔ only ideals of R/M are (0) and R/M
           ⇔ R/M is a field (a comm. ring with exactly two ideals). ∎

极大蕴含素，但反之不然

每个域都是整环，故商环刻画立即给出：每个极大理想都是素理想。反之不成立，而这一失败很有启发。在 Z 中，素理想是 (0) 与各素数 p 的 (p)；极大理想恰是这些 (p)。唯一的例外是 (0)：它是素的（Z 是整环）但不是极大的（它含于每个 (p) 内）。于是「(0) 素而非极大」记录了一个事实：Z 是一个不是域的无限整环。

一个二维例子让这道缝隙变得几何化。在 R = k[x,y] 中，理想 (x) 是素的——R/(x) ≅ k[y] 是整环——却不是极大的，因为 (x) ⊊ (x,y) ⊊ R。这里 (x,y) 是极大的，商环为 k。素理想链 (0) ⊊ (x) ⊊ (x,y) 长度为 2，这个长度就是二元多项式环的 Krull 维数。非极大的素理想正是一个环记录「自己维数大于零」的方式。

谱，与局部环

把 R 的所有素理想收集成一个集合 Spec R，即素谱。这是代数几何的首个对象：Spec R 的点是素理想，极大理想是「经典」点，而非极大的素理想是把子簇撑大的「一般」点。恰有一个极大理想的环称为局部环；在一个素理想处局部化（后续指南将讲）是制造局部环的标准方法，相当于聚焦到单独一点上。

1. 检验素性时，取商并问「这是整环吗？」——通常比直接验证 ab∈P 更快。
2. 检验极大性时，取商并问「这是域吗？」——例如 R[x] 中的 (x²+1) 是极大的，因为商环是 C。
3. 在主理想整环（下一指南）中，非零素理想与极大理想重合，故维数降为 1，Spec 格外简单。