诱导：从子群升到群
设 H ≤ G，W 是 H 的表示。诱导表示 Ind_H^G W 通过大致地在 H 的每个陪集上放一份 W，并让 G 置换陪集、同时在每份内由 H 作用，从而构造大群的表示。其维数为 [G:H]·dim W。具体地 Ind_H^G W = C[G] ⊗_{C[H]} W，是沿包含 C[H] ↪ C[G] 的标量扩张——一旦有了模的张量积，这便是最干净的定义。
让诱导可用的工具是 Frobenius 互反律：⟨Ind_H^G W, V⟩_G = ⟨W, Res_H^G V⟩_H，其中 Res 是限制回 H。换言之，G 的不可约 V 在诱导表示中的重数，等于 W 在 V 限制到 H 后的重数。它把困难的楼上计算变成容易的楼下计算——而它正是两个函子之间的伴随，诱导是限制的左伴随。
Inducing from H = A_3 = {e,(123),(132)} (index 2) up to G = S_3.
A_3 = Z/3Z is abelian, three 1-dim characters psi_0, psi_1, psi_2
with psi_j((123)) = omega^j, omega = e^{2 pi i /3}.
Induce the trivial psi_0 of A_3: dim = [S_3:A_3]*1 = 2.
Its character on classes (e,(12),(123)) is
Ind psi_0 (e) = 2
Ind psi_0 ((12)) = 0 (transpositions have no A_3-conjugate fixed)
Ind psi_0 ((123)) = psi_0((123)) + psi_0((132)) = 1 + 1 = 2
=> character (2, 0, 2) = trivial (+) sign of S_3. (reducible)
Induce psi_1 instead: character (2, 0, omega + omega^2) = (2, 0, -1)
=> exactly the STANDARD irreducible of S_3.
Check by Frobenius reciprocity: <Ind psi_1, standard>_{S_3}
= <psi_1, Res standard>_{A_3} = 1. OK特征标作为代数的影子
退回到群代数。因为 C[G] 是半单环，Artin–Wedderburn 定理说它分裂为矩阵代数之积：C[G] ≅ ∏ᵢ Mat_{dᵢ}(C)，每个不可约表示对应一个因子，大小是其次数 dᵢ。两边比较维数立刻重得 Σ dᵢ² = |G|。关于特征标的一切——正交关系、不可约个数、正则表示——都是这个矩阵环之积的结构，透过迹来看。
让群变为无限
当 G 是连续群（如圆周 U(1) 或旋转群 SO(3)）时，什么得以保留？关键一招是取平均 (1/|G|) Σ_g。对紧群存在唯一的不变概率测度——Haar 测度——故取平均变为积分 ∫_G ⋯ dg。仅凭这一替换，Maschke、Schur 与正交关系都原样通过：每个有限维表示都完全可约，特征标仍是正交归一的类函数。
有限群中“C[G] 分解为含每个不可约表示的矩阵块”的陈述，变成 Peter–Weyl 定理：不可约表示的矩阵系数构成 L²(G) 的正交归一基。对 U(1) 这正是经典的Fourier 级数——它的不可约表示是特征标 z ↦ zⁿ，而 Peter–Weyl 就是 {eⁱⁿᵗ} 的完备性。于是表示论把调和分析作为交换情形包含其中。