类函数上的内积
在函数 G → C 上引入 Hermite 内积 ⟨α, β⟩ = (1/|G|) Σ_{g∈G} α(g) · β(g) 的共轭。第一正交关系是基石：不可约特征标是正交归一的，⟨χᵢ, χⱼ⟩ = δᵢⱼ（i = j 时为 1，否则为 0）。由于特征标是类函数且每个共轭类对应一个不可约表示，不可约特征标构成类函数空间的一组正交归一基。
它从何而来？取不可约表示 V, W。对任意线性映射 f: V → W 取平均得 f₀ = (1/|G|) Σ_g ρ_W(g) f ρ_V(g)⁻¹，它是等变的。由 Schur，当 V ≇ W 时 f₀ = 0，当 V = W 时 f₀ = (tr f / dim V)·id。对这两种情形取矩阵元并求和，恰好给出 ⟨χ_V, χ_W⟩ = δ。正交关系就是把记账做完了的 Schur 引理。
用内积分解
现在任意表示 V 分解为 ⊕ mᵢVᵢ，而重数就是一个内积：mᵢ = ⟨χ_V, χᵢ⟩。要分析一个表示，你不再追逐不变子空间——只需对每个不可约表示算一个数。这是整个理论的实用回报。
- 在每个共轭类上算 χ_V——若 V 是置换表示，往往只需数不动点。
- 对特征标表中每个不可约 χᵢ，用按类的加权和算 mᵢ = ⟨χ_V, χᵢ⟩。
- 读出 V ≅ ⊕ mᵢVᵢ；用 Σ mᵢ·(dim Vᵢ) = dim V 与 Σ mᵢ² = ⟨χ_V, χ_V⟩ 自检。
正则表示
让 G 通过左乘作用在群代数 C[G] 自身上——这是正则表示。它的特征标很戏剧化：χ_reg(e) = |G| 而 g ≠ e 时 χ_reg(g) = 0，因为 g ≠ e 的左乘是基 G 的无不动点置换。把它代入 mᵢ = ⟨χ_reg, χᵢ⟩ 得 mᵢ = (1/|G|)·|G|·χᵢ(e) = dim Vᵢ。于是正则表示包含每一个不可约表示，且每个的重数等于它自身的次数。
Counting dimensions in the regular representation of S_3. C[S_3] has dimension |S_3| = 6. Regular rep decomposes as reg = (dim V_i) copies of each V_i: reg = 1*trivial (+) 1*sign (+) 2*standard dim check: 1*1 + 1*1 + 2*2 = 1 + 1 + 4 = 6. OK Reading the e-column gives the famous identity: SUM over irreducibles of (degree)^2 = |G|. For S_3: 1^2 + 1^2 + 2^2 = 6. This identity, plus #irreducibles = #conjugacy classes, often pins down the ENTIRE list of degrees by hand. E.g. a group of order 8 with 5 classes must have degrees d satisfying d_1^2+...+d_5^2 = 8 with five positive integers => 1,1,1,1,2 (four linear chars and one 2-dim).