定义与最初的性质
表示 ρ 的特征标是函数 χ: G → C，定义为 χ(g) = tr ρ(g)，即矩阵的迹。迹与基无关，故 χ 不依赖于所选的基，且同构的表示有相等的特征标。立刻得到两个事实：χ(e) = tr(id) = dim V 即次数；又因 tr(ABA⁻¹) = tr(B)，得 χ(hgh⁻¹) = χ(g)。因此特征标是一个类函数——在每个共轭类上为常数。
更多性质，皆由线性代数证得。对有限群，ρ(g) 有有限阶，故可对角化且对角线上是单位根；因此 χ(g⁻¹) 是 χ(g) 的共轭，且 |χ(g)| ≤ dim V。直和的特征标是特征标之和，而张量积的特征标是乘积：χ_{V⊗W}(g) = χ_V(g)·χ_W(g)。特征标把表示的代数变成函数的普通算术。
实例：S_3 的特征标表
S_3 有三个共轭类：单位元 {e}、三个对换、两个 3-循环。恰有三个不可约表示（第 4 篇会看到为何不可约表示的个数等于类的个数）。平凡特征标恒为 1；符号特征标把偶置换送到 1、奇置换送到 −1；还有一个 2 维标准表示。
Conjugacy classes of S_3 and their sizes:
class: e (12) (123)
size: 1 3 2
Character table (rows = irreducibles, columns = classes):
e (12) (123)
trivial 1 1 1
sign 1 -1 1
standard 2 0 -1
Getting the standard row: S_3 permutes coordinates of C^3; the
permutation character is (3, 1, 0) [fixed points of each class].
Subtract the trivial (1,1,1): (3,1,0) - (1,1,1) = (2, 0, -1).
That 2-dim complement is the standard irreducible — its row, read off.
Degree check (sum of squares = |G|): 1^2 + 1^2 + 2^2 = 6 = |S_3|. OK注意不动点列技巧：G 在有限集上的任何作用都给出一个置换表示，其在 g 处的特征标就是 g 固定的点数。减去平凡部分，标准表示便浮现。这是实践中计算特征标的日常做法。