Maschke：在群上取平均
设 W ⊆ V 是子表示。能否找到一个互补的子表示 W'，使 V = W ⊕ W' 且*两者*都 G-不变？朴素的向量空间补空间存在，但未必 G-不变。Maschke 定理说：若 G 有限且 char k 不整除 |G|（如 k = C），则可以——不变补空间总是存在。因此每个有限次表示都是完全可约的，即不可约表示的直和。
证明是平均技巧，本学科最重要的一招。取 V 到 W 的任意投影 π（仅线性，尚非 G-不变）。在群上对其共轭取平均：π₀ = (1/|G|) Σ_g ρ(g) π ρ(g)⁻¹。除以 |G| 正是需要 char k ∤ |G| 之处。平均后的映射 π₀ 是到 W 的 G-等变投影，其核就是不变补空间。
Schur：不可约之间的映射
Maschke 给出零件；Schur 引理管控它们如何拼合。G-等变（或交结）映射 φ: V → V' 是满足 φ ρ(g) = ρ'(g) φ 对所有 g 成立的线性映射。Schur：若 V, V' 不可约，则任何这样的 φ 要么为 0，要么是同构。理由：ker φ 与 im φ 都是子表示，故各自为 0 或全体；要避免逼出 φ = 0，唯一办法是 φ 为双射。
在 C 这样的代数闭域上有更锐利的下半句：从不可约表示到自身的任何等变映射 φ: V → V 都是标量，φ = λ·id。为何？φ 有特征值 λ；于是 φ − λ·id 是等变的且核非零，由上半句它为 0。这正是第 3、4 篇所有正交关系背后的引擎。
Schur in action: which matrices commute with an irreducible rep?
Take G = Z/4Z acting on C^2 by powers of J = [0,-1; 1,0] (i acts as J).
This 2-dim rep is NOT irreducible over C: J has eigenvalues +i, -i,
so C^2 = (eigenline for +i) (+) (eigenline for -i), two 1-dim subreps.
Matrices commuting with all rho(g): a full 2-dim space {diag in that basis}.
Now an honestly irreducible example: G = Q8 (quaternion group) on C^2
via i -> [i,0; 0,-i], j -> [0,1; -1,0].
The only matrices commuting with BOTH are scalars lambda*I.
That lone scalar-matrix algebra is exactly Schur's lemma over C.为何这就是整个结构理论
把它们合起来。Maschke 给出 V = m₁V₁ ⊕ m₂V₂ ⊕ ··· 分解为不可约表示。Schur 说重数 mᵢ 是唯一的：Vᵢ 出现的份数等于 dim Hom_G(Vᵢ, V)，与基的选取无关。于是 C 上的有限群表示由一列非负整数（每个不可约表示一个）决定其同构类。这正是 k[G] 的 Artin–Wedderburn 分解，通过半单词典来读。