慢慢看定义
你已经知道群作用是映射 G × X → X。表示是其中的特殊情形：X 是域 k 上的向量空间 V，而每个群元素都作为线性映射作用。具体地，G 的一个表示是同态 ρ: G → GL(V)，其中 GL(V) 是 V 上可逆线性映射构成的群。选定一组基后 GL(V) 就变成 GL(n,k)，因此表示具体来说就是给每个 g 指定一个矩阵 ρ(g)，使得 ρ(gh) = ρ(g)ρ(h)。
V 的维数是表示的次数。最简单的是平凡表示：每个 g 都作为 k 上的恒等作用。若 ρ 单射，则表示是忠实的——它不丢失 G 的任何信息。关键在于借力：群难以捉摸，但矩阵我们能算特征值、迹和秩。表示就是一台显微镜，把群结构变成线性代数。
Two representations of the cyclic group Z/3Z = {0,1,2}, generator g.
Trivial (degree 1): rho(g) = [1]
A faithful degree-2 real representation = rotation by 120 degrees:
rho(g) = [cos120, -sin120; sin120, cos120]
= [-1/2, -sqrt(3)/2; sqrt(3)/2, -1/2]
Check the relation g^3 = e:
rho(g)^3 = rotation by 360 deg = [1,0; 0,1] (identity) OK
Over C this same group also has the two 1-dim reps
rho_j(g) = omega^j where omega = e^{2 pi i/3}, j = 1, 2.子表示与不可约性
在 V 内部，某些子空间是特殊的：若 W ⊆ V 是 G-不变的，即对每个 g 都有 ρ(g)W ⊆ W，则 W 是一个子表示。此时 ρ 限制为 W 上的表示。一个非零表示若其仅有的 G-不变子空间是 0 和 V，则称为不可约的——它无法分解成更小的块。不可约表示是理论的原子；整个目标就是找到它们并由它们拼出其余一切。
注意与环论的类比：子表示之于表示，正如理想之于环，而不可约性是单性在表示论中的近亲。下面我们将精确化这一点：存在一个环，它的模恰好就是 G 的表示。
表示就是模
这里是统一的思想。构造群代数 k[G]：以 G 的元素为基的向量空间，其乘法把群运算线性延拓。那么 G 的表示恰好就是 k[G] 上的模。基元素 g 在向量上的作用就是 ρ(g)，而形式和 Σ c_g g 通过 Σ c_g ρ(g) 作用。子表示变成子模，不可约表示变成单模。