有理方程、增根与反比例变化

用清除分母来求解

有理方程令有理表达式彼此相等。最干净的求解办法是清除分母：把两边的每一项都乘以最小公分母。分数消失了，剩下一个多项式方程——常常是线性的，有时是二次方程——而那你已经会解。

Solve   3/(x - 2)  +  1  =  x/(x - 2)

LCD = (x - 2).  Multiply every term by (x - 2):
   3 + (x - 2) = x
   3 + x - 2 = x
   x + 1 = x
   1 = 0      <- false, no solution

There is NO value of x that works.
(And x = 2 was excluded from the start anyway.)

把每一项都乘以 LCD，一举消去所有分数。

为什么必须检验：增根

清除分母可能引入一个增根——一个能解出清分母后的多项式、却使原方程某个分母为零的值，因此它从一开始就不被允许。它不是真正的解；它是乘法带来的假象。补救办法是把每个解代回原方程检验，并舍弃任何落在排除值上的解。

Solve   x/(x - 4)  =  4/(x - 4) + 2

LCD = (x - 4).  Multiply every term:
   x = 4 + 2(x - 4)
   x = 4 + 2x - 8
   x = 2x - 4
   -x = -4
   x = 4

CHECK x = 4 in the original:
   denominator (x - 4) = 0  ->  undefined!
   x = 4 is EXTRANEOUS, reject it.

Solution set: empty (no valid solution).

x = 4 满足清分母后的方程，但它是排除值——所以是增根。

反比例变化：一个有理的故事

反比例变化是说两个量的乘积恒定：y = k/x，等价地 xy = k。一个增大，另一个就缩小。数 k 是比例常数，对给定情形是固定的。注意 y = k/x 本身就是一个有理表达式，所以 x = 0 被排除——这在物理上也讲得通（你不能用零去除那个固定的乘积）。

y varies inversely with x, and y = 6 when x = 4.

Model:   y = k/x
Find k:  6 = k/4  ->  k = 24
So:      y = 24/x   (equivalently xy = 24)

Predict y when x = 3:
   y = 24/3 = 8

As x falls from 4 to 3, y rises from 6 to 8 — the product xy stays 24.

用一组已知数对求出 k，然后模型就能预测其他每一组数对。

把它和正比例变化（y = kx）对照，那里两个量一起涨落。反比例变化是它的有理表亲——至此，你已经从定义、四则运算，一直走到求解与建模，完整地见识了有理表达式。