加法、减法与复合分数

构造最小公分母

要把分数相加，你需要一个共同的分母。最小公分母（LCD）是每个分母都能整除的最小表达式——即各分母的最小公倍数。构造方法是把每个分母因式分解，取每个不同因式出现的最高次幂。

Add   3/(x^2 - x)  +  2/(x - 1)

Factor the denominators:
   x^2 - x = x(x - 1)
   x - 1   = (x - 1)

LCD = x(x - 1)   [every distinct factor, highest power]

Rewrite each fraction over the LCD:
   3/[x(x-1)]  stays as is
   2/(x-1) = 2·x / [x(x-1)] = 2x/[x(x-1)]

Combine numerators over the LCD:
   (3 + 2x) / [x(x - 1)]  =  (2x + 3) / [x(x - 1)]

   x ≠ 0,  x ≠ 1

给每个分数乘上缺少的因式，让每个分母都变成 LCD。

减法：分配那个负号

加法和减法共用一套流程，但减法有一个著名的陷阱：负号作用于整个第二个分子。把那个分子放进括号里，在合并同类项之前把负号分配进去。

Subtract   (2x + 1)/(x - 3)  -  (x - 4)/(x - 3)

Same denominator already, so combine over (x - 3):
   [(2x + 1) - (x - 4)] / (x - 3)

Distribute the minus across (x - 4):
   (2x + 1 - x + 4) / (x - 3)        <- note -(-4) = +4

Combine like terms:
   (x + 5) / (x - 3),   x ≠ 3

−(x − 4) 变成 −x + 4。忘记这个符号翻转是最常见的错误。

复合（繁）分数

复合分数是指其分子或分母本身又是分数的分数——分数叠在分数上。最干净的方法是：把上半部分化成一个分数，把下半部分化成一个分数，然后用乘以倒数来做除法。

Simplify the complex fraction   (1 + 1/x) / (1 - 1/x^2)

Top  as one fraction:   1 + 1/x   = (x + 1)/x
Bottom as one fraction: 1 - 1/x^2 = (x^2 - 1)/x^2 = (x-1)(x+1)/x^2

Divide = multiply by the reciprocal of the bottom:
   (x + 1)/x  ·  x^2 / [(x - 1)(x + 1)]

Cancel (x + 1) and one x:
   x / (x - 1),    x ≠ 0,  x ≠ 1,  x ≠ -1

合并上半，合并下半，再用翻转做除法——复用第 3 篇的倒数技巧。