有理表达式的乘法与除法

乘法：分子乘分子，分母乘分母

有理表达式的乘法遵循与 2/3 · 4/5 = 8/15 相同的规则：分子乘分子，分母乘分母。不过聪明的顺序是先因式分解、约分、再相乘——这样数字保持小，答案也已经是最简形式。

Multiply   (x^2 - 4)/(x^2 + 6x + 9)  ·  (x + 3)/(x - 2)

Factor every piece:
   (x - 2)(x + 2)        (x + 3)
  ----------------  ·  ---------
     (x + 3)(x + 3)      (x - 2)

Cancel (x - 2) and one (x + 3) across the product:

   (x + 2)
  ---------
   (x + 3)

Result:  (x + 2)/(x + 3),   x ≠ -3,  x ≠ 2

任意一个分子上的因式可以与任意一个分母上的相同因式约去。

除法：乘以倒数

做除法时，把除数取倒数再相乘。这个翻转后的分数就是该表达式的倒数——它的乘法逆元。正如 1/2 ÷ 3/4 = 1/2 · 4/3，有理表达式的除法就变成了你已经会做的乘法。

Divide   (x^2 - 1)/(x + 4)  ÷  (x - 1)/(x^2 + 4x)

Flip the second fraction and multiply:
   (x^2 - 1)/(x + 4)  ·  (x^2 + 4x)/(x - 1)

Factor:
   (x - 1)(x + 1)        x(x + 4)
  ----------------  ·  -----------
     (x + 4)              (x - 1)

Cancel (x - 1) and (x + 4):
   (x + 1) · x  =  x(x + 1)  =  x^2 + x

Result:  x^2 + x,   x ≠ -4, x ≠ 0, x ≠ 1

限制来自出现过的每一个分母——包括你翻转的那个。

两者共用的一套流程

如果是除法，把第二个分数翻成倒数，并把 ÷ 改成 ·。
把每个分子和每个分母都彻底因式分解。
把任意分子上的因式与任意分母上的相同因式约去。
把剩下的相乘；记下出现过的每个分母带来的排除值。