什么是有理表达式——以及它在哪里失效

由多项式搭成的分数

有理表达式是一个分数，它的分子和分母都是多项式。例如 (x+2)/(x−3)、(x^2−1)/(x^2+5x+6)，甚至 7/x。rational（有理）一词来自 ratio（比）：它是一个多项式除以另一个多项式，正如有理数是一个整数除以另一个整数。

你对普通分数已经知道的一切仍然适用。分数线表示除法。你可以约分、相乘、相加等等。唯一真正新增的麻烦是：分母不再是一个固定的数——它会随着变量的变化而变化，有时会恰好落在零上。

除以零是唯一要紧的规则

除以零没有意义，所以任何使分母为零的输入都是一个排除值：表达式在那里根本不存在。找出它们是机械化的——令分母等于零并求解。

Find the excluded values of  (x + 2) / (x^2 + 5x + 6)

Set the denominator to zero:
  x^2 + 5x + 6 = 0
  (x + 2)(x + 3) = 0
  x = -2  or  x = -3

Excluded values:  x ≠ -2  and  x ≠ -3
The expression is defined for every other real number.

把分母因式分解，令每个因式为零——这些输入都被禁止。

排除值与定义域

这份禁止输入的清单正是一种定义域限制。当你把表达式看作一个有理函数 f(x) 时，它的定义域是除那些排除值之外的所有实数。所以同一个事实有两个名字：表达式的排除值就是函数定义域上的一个缺口。

只看分母；分子永远不会导致排除。
令分母等于零，并把那个方程完整解出来。
你找到的每个解都是一个排除值；每个都写成 x ≠ 那个数。
把定义域写成：除那些值以外的所有实数。