为何有理数是困难的
在 ℂ 上秩可分类；在 ℝ 上秩加 符号差 可分类。在 ℚ 上二者都不够，因为平方类 ℚ*/(ℚ*)² 构成无限群：1, −1, 2, −2, 3, … 及所有乘积彼此不等价。有理形式 ⟨1, 1⟩（即 x² + y²）是否等价于 ⟨2, 2⟩？它们有相同的秩与相同的实符号差 (2, 0)，但判别式分析有别——你需要更细的不变量。天才的想法是不直接研究 ℚ，而是同时通过它的所有 完备化 来研究。
ℚ 的完备化是 ℝ（“无穷远位”）以及 p-进域 ℚ_p，每个素数 p 对应一个。在每个 ℚ_p 上有一个齐整的局部不变量，即 [[hasse-invariant|Hasse 不变量]] ε_p(q) ∈ {±1}，由对角元的 Hilbert 符号构成。它连同秩、ℚ*/(ℚ*)² 中的判别式、以及实符号差，构成一份完整的不变量清单——只要你知道把它们联系起来的法则。
Witt 环：作为环的形式
固定域 K（char ≠ 2），同时考察所有非退化二次型。正交和 ⊥ 把它们相加，张量积 ⊗ 把它们相乘，故等距类几乎构成一个环——只是 ⊥ 没有逆元。两步修补，正如 ℤ 由 ℕ 构造而来。先作 Grothendieck 式群完备化（一个 Grothendieck 群）以引入减法。再宣布 双曲平面 ℍ 为零。所得商即 [[witt-ring|Witt 环]] W(K)：其元素是非迷向形式（第 4 篇的 q_an 核），因为每个双曲直和项都已被杀死。
为何杀死 ℍ 是正确之举？由 Witt 消去，两个形式在添加双曲平面后相等，当且仅当它们的非迷向核一致——故“在 W(K) 中相等”意味着“非迷向部分相同”，这正是我们想要的分类。⟨a⟩ 在 W(K) 中的类记作 ⟪a⟫；加法为 ⟪a⟫ + ⟪b⟫ = ⟨a, b⟩ 的类，乘法为 ⟪a⟫·⟪b⟫ = ⟪ab⟫。单位元是 ⟨1⟩，且 ⟪a⟫ + ⟪−a⟫ = 0，因为 ⟨a, −a⟩ ≅ ℍ。
Three Witt rings, computed.
W(C): over an algebraically closed field every form is <1,...,1>,
and <1,1> = H = 0. So the only anisotropic forms are 0 and <1>.
W(C) = Z/2Z. (rank mod 2 is the whole story.)
W(R): the anisotropic forms are <1,...,1> and <-1,...,-1>; the invariant
that survives is the SIGNATURE p - m, which is additive on (+)
and multiplicative on (x).
W(R) = Z, via q |-> signature(q).
W(F_q), q odd: square classes F_q*/(F_q*)^2 has order 2, pick a nonsquare s.
Anisotropic forms have dimension <= 2; one finds
W(F_q) = Z/2Z[s]/(s^2 - 1)-type ring of order 4:
= Z/4Z if q = 3 (mod 4),
= Z/2Z[t]/(t^2) if q = 1 (mod 4).
Sanity check in W(R): <1,1,1> + <-1,-1> has signature 3 + (-2) = 1 = <1>.
Indeed <1,1,1,-1,-1> = <1> (+) 2H, and 2H = 0. Consistent.Witt 环组织了什么
我们收集的不变量恰是 W(K) 上的环同态（或滤过数据）。秩 mod 2 是同态 W(K) → ℤ/2ℤ；其核是 基本理想 I。判别式活在 I/I² 上，Hasse 不变量 在 I²/I³ 上，实符号差在 K 的每个序上给出 W(K) → ℤ，如此等等。深刻的 Milnor 猜想（今已成定理）把分级部分 Iⁿ/Iⁿ⁺¹ 与 Galois 上同调等同起来——把二次型连回第一卷的 Galois 机器。第 1 篇里平方的小小算术，已长成连接代数、数论与拓扑的桥梁。