迷向向量、双曲平面与 Witt 定理

长度为零的向量

在欧氏点积中，q(v) = 0 迫使 v = 0——这正是 正定性 的含义。但对一般形式，可以有非零向量满足 q(v) = 0；这样的 v 称为 [[isotropic-vector|迷向]] 向量，含有这种向量的形式称为迷向的（否则称为非迷向 / 定型）。在实形式 q(x, y) = x² − y² 上，向量 (1, 1) 与 (1, −1) 是迷向的——它们落在“光锥”上。迷向性正是阻碍形式表现得像一个诚实的长度概念的障碍。

双曲平面：通用的迷向部件

设非退化形式有一个迷向向量 u，q(u) = 0。非退化性给出某个 w 使 B(u, w) ≠ 0；缩放使 B(u, w) = 1，再用 u 的倍数调整 w 使 q(w) = 0。u, w 的张成是一个 2 维 非退化 子空间，Gram 矩阵为 [0, 1; 1, 0]——即 [[hyperbolic-plane|双曲平面]] ℍ。在等价的对角形式下它是 ⟨1, −1⟩，因为 x² − y² = (x + y)(x − y)，而代换 u = x + y, w = x − y 把一个化为另一个。双曲平面是迷向性的原子。

Splitting off a hyperbolic plane.

Claim: if a nondegenerate form q contains an isotropic vector,
it decomposes as q = H (+) q', where H is the hyperbolic plane.

Build a hyperbolic pair (u, w):
  q(u) = 0,  B(u, w) = 1,  q(w) = 0.
  Gram matrix of span(u, w) = [0, 1; 1, 0],  det = -1 != 0  (nondegenerate).

Orthogonal complement splits off:
  V = span(u, w)  (+)  span(u, w)^perp,
with the form restricting nondegenerately to each summand. So

  q  =  H  (+)  q'      with   dim q' = n - 2.

As diagonal forms:  H = <1, -1>, hence over R every form is
  q = (p - m copies of the SIGN it favors) plus (min(p,m) copies of H),
i.e.   <1,...,1, -1,...,-1>  =  k*H  (+)  <eps,...,eps>,
with k = min(p, m) hyperbolic planes and |p - m| leftover same-sign axes.

迭代给出 Witt 分解：每个非退化形式分裂为 直和 q ≅ k·ℍ ⊥ q_an，其中 ℍ 是双曲平面，q_an 非迷向（无迷向向量）。整数 k 是 *Witt 指数*；非迷向部分 q_an 是信息的不可约内核。在 ℝ 上这只是重述 Sylvester：k = min(p, m) 个双曲平面，q_an 为 ⟨1, …, 1⟩ 或 ⟨−1, …, −1⟩，大小 |p − m|，承载残存的符号差。该分解的威力在于它对 *任何* 域都成立。

Witt 定理与正交群

两个深刻结果使该分解成为典范。[[witt-theorem|Witt 延拓定理]]：(V, q) 的两个子空间之间的任何等距都可延拓为整个 V 的等距。Witt 消去定理：若 q₁ ⊥ q ≅ q₂ ⊥ q，则 q₁ ≅ q₂——可以消去公共的直和项。消去定理使 Witt 指数 k 与非迷向核 q_an 成为形式的 *不变量*，而非所选分裂的副产物。其证明（借助延拓）归结为每次消去一个双曲平面或一条非迷向线。