通过配方对角化
第一个结构定理：在任何特征 ≠ 2 的域上，每个对称双线性型都有 正交基——使 Gram 矩阵 成对角形的基。等价地，每个对称矩阵都 合同 于一个对角矩阵，每个二次型都等价于某个 ⟨d₁, …, dₙ⟩。证明不过是 配方，用你中学就会的算法，只是现在跑在一般域上。
- 若某个对角元 q(eᵢ) = B(eᵢ, eᵢ) 非零，重排使其为第一个变量 x₁；用它作主元。
- 把含 x₁ 的所有项收拢并配方：a₁(x₁ + …)²，其中“…”是 x₂, …, xₙ 的线性组合。代入 y₁ = x₁ + …，消去所有与 x₁ 的交叉项。
- 剩下的是仅含 x₂, …, xₙ 的二次型；对它递归。
- 边界情形：若所有对角元为 0 但某个 B(eᵢ, eⱼ) ≠ 0，先代入 xᵢ ↦ xᵢ + xⱼ 制造一个非零平方（这需要 char ≠ 2），再继续。
Diagonalize q(x1, x2, x3) = x1^2 + 2 x1 x2 + 2 x2 x3 over Q.
Pivot on x1: x1^2 + 2 x1 x2 = (x1 + x2)^2 - x2^2.
Set y1 = x1 + x2. q = y1^2 - x2^2 + 2 x2 x3.
Now handle the rest: -x2^2 + 2 x2 x3 = -(x2^2 - 2 x2 x3)
= -(x2 - x3)^2 + x3^2.
Set y2 = x2 - x3, y3 = x3.
q = y1^2 - y2^2 + y3^2. Diagonal form <1, -1, 1>.
Rank = 3 (three nonzero entries), so q is nondegenerate.
Over R: one minus sign, two plus signs -> signature (2, 1), s = 2 - 1 = 1.
The change of variables is invertible, so this is a CONGRUENCE,
not an orthonormal (eigenvalue) diagonalization -- no square roots needed.秩：与域无关的不变量
一旦对角化为 ⟨d₁, …, dₙ⟩，非零 dᵢ 的个数就是形式的 秩——即其 Gram 矩阵的秩，合同无法改变它，因为 P 可逆。形式 非退化 恰当秩等于 dim V，即所有 dᵢ ≠ 0。秩是 *唯一* 在每个域上都奏效的不变量：在像 ℂ 这样的 代数闭域 上它是 *仅有的* 不变量，因为那里每个非零 dᵢ 经 1/(√dᵢ)² 缩放后都变成 1——故在 ℂ 上形式完全由其秩决定，且 ⟨d₁, …, dᵣ, 0, …⟩ ≅ ⟨1, …, 1, 0, …⟩。
Sylvester 惯性定律
在 ℝ 上我们可把每个非零 dᵢ 缩放为 ±1（除以 (√|dᵢ|)²），故每个实形式都合同于 ⟨1, …, 1, −1, …, −1, 0, …, 0⟩，含 p 个 1、m 个 −1、z 个 0。对角化极不唯一，但 [[sylvester-law-of-inertia|Sylvester 惯性定律]] 说三元组 (p, m, z) 是唯一的：同一实形式的任意两个对角化，其正、负、零元的个数都相同。数对 (p, m) 称为 [[signature-of-a-form|符号差]]；常以单个数 s = p − m 报告。
p 唯一性的干净证明：它等于 q 在其上 严格正 的子空间的最大维数。若 U 是 q > 0 的子空间（维数 p，由“+”基向量张成），W 是 q ≤ 0 的子空间（维数 m + z，其余部分），则 U ∩ W = {0}，因为同时属于两者的向量将使 q 既 > 0 又 ≤ 0。故 dim U + dim W ≤ n，迫使 p 取到最大且与基无关。同样的论证锁定 m。这个维数刻画是 *内蕴的*——不提及任何基——这正是为何计数不能依赖所选的对角化。