二次型与极化

对称型的对角线

给定对称双线性型 B，定义其二次型为 q(v) = B(v, v)。在 Gram 矩阵为 A 的坐标下即 q(x) = xᵀ A x = Σᵢ aᵢᵢ xᵢ² + 2 Σ_{i<j} aᵢⱼ xᵢ xⱼ——一个二次齐次多项式。反之，任何二次齐次多项式 q(x₁, …, xₙ) 都是唯一一个对称矩阵的二次型：取 aᵢᵢ = (xᵢ² 的系数)，aᵢⱼ = aⱼᵢ = ½(xᵢxⱼ 的系数)。那个 ½ 正是为何特征 2 需要特别小心。

抽象地说，函数 q : V → K 配称为 二次型，当 (i) 对所有标量 λ 有 q(λv) = λ² q(v)，且 (ii) 映射 B_q(u, w) := q(u + w) − q(u) − q(w) 是双线性的。此时 B_q 自动对称，它是 q 的 *配极双线性型*。条件 (i) 是使“二次”名副其实的齐次性：输入乘以 λ，输出乘以 λ²。

极化：从 q 还原 B

只知道 q 在对角线上的值，看似比处处知道 B 的信息更少。极化恒等式说明，在特征不为 2 时，二者恰是同样多的信息。展开 q(u + w) = B(u + w, u + w) = q(u) + 2B(u, w) + q(w)。解出交叉项：B(u, w) = ½ [q(u + w) − q(u) − q(w)]。所以 B 与 q 相互决定，只要 2 在 K 中可逆，我们便可把“二次型”与“对称双线性型”互换使用。

Polarization, worked on R^2.

Form:  q(x1, x2) = 3*x1^2 + 4*x1*x2 + x2^2.

Gram matrix (halve the off-diagonal coefficient):
  A = [3, 2; 2, 1].   Check: x^T A x = 3 x1^2 + 4 x1 x2 + x2^2.  Good.

Recover B by polarization with u = (1,0), w = (0,1):
  q(u)     = q(1,0) = 3
  q(w)     = q(0,1) = 1
  q(u + w) = q(1,1) = 3 + 4 + 1 = 8
  B(u, w)  = (1/2)(8 - 3 - 1) = 2     = A[1,2].  Consistent.

Why char 2 breaks: there 1/2 does not exist, and over F_2
  x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 has associated B = 0 (it is ALTERNATING),
so q carries strictly more information than its B. Quadratic forms
and symmetric bilinear forms part ways in characteristic 2.

极化把 A 的每个非对角元素还原为 B(eᵢ, eⱼ)；在没有 ½ 的特征 2 中它失效。

二次型的等价

V 上的两个二次型 q, q' 等价（或等距），若存在可逆线性变量替换把一个变成另一个——恰当它们的矩阵合同。对角型 a₁x₁² + ⋯ + aₙxₙ² 简记为 ⟨a₁, …, aₙ⟩。缩放变量 xᵢ ↦ c xᵢ 把第 i 个系数乘以 c²，故在任何域上对角元仅在差一个非零平方的意义下重要：⟨a⟩ ≅ ⟨ac²⟩。这种平方类记账正是第 4、5 篇一切内容的种子。