进两个向量，出一个标量
设 V 是域 K 上的有限维 向量空间。一个 双线性型 是映射 B : V × V → K，对每个变量分别线性：B(au + a'u', w) = a·B(u, w) + a'·B(u', w)，右边亦然。它是一种特殊的 双线性映射——陪域恰是基域本身。ℝⁿ 上的点积是原型：B(x, y) = x₁y₁ + ⋯ + xₙyₙ。但还有许多别的，而本主线的全部目的就是把它们分类。
取 V 的一组基 e₁, …, eₙ。由于 B 双线性，它完全由这 n² 个数 aᵢⱼ = B(eᵢ, eⱼ) 决定。把它们排成矩阵 A = (aᵢⱼ)，即 B 在此基下的 Gram 矩阵。于是对坐标列向量 x, y，有 B(x, y) = xᵀ A y。固定基后，形式与矩阵可以互换——但矩阵依赖于基，而这种依赖正是故事的核心。
对称性与它的反对称伙伴
若对所有 u, w 有 B(u, w) = B(w, u)，则形式 对称——等价地，其 Gram 矩阵满足 Aᵀ = A。若对所有 v 有 B(v, v) = 0，则形式 交错，这迫使 B(u, w) = −B(w, u)。在特征不为 2 时，每个形式唯一地分裂为对称加交错：B = ½(B + Bᵀ) + ½(B − Bᵀ)。本主线讲 对称 的那一半；交错的一半属于 交错型 与辛几何的世界。对称是平方与符号差栖身之处。
现在是关键一步：换基时 Gram 矩阵如何变化？若新基为 e'ⱼ = Σᵢ Pᵢⱼ eᵢ，其中 P 是（可逆的）换基矩阵，则新旧坐标满足 x = P x'。代入 B(x, y) = xᵀ A y 得 B = (Px')ᵀ A (Py') = x'ᵀ (Pᵀ A P) y'。故新 Gram 矩阵为 A' = Pᵀ A P——而非 P⁻¹ A P。这是 *合同*，不是相似。
Same form, two bases, two Gram matrices.
Let B(x, y) = x1*y1 + x1*y2 + x2*y1 + 2*x2*y2 on R^2.
In the standard basis its Gram matrix is
A = [1, 1; 1, 2] (symmetric: A^T = A)
Change basis with P = [1, -1; 0, 1] (so e1' = e1, e2' = -e1 + e2).
Congruence:
A' = P^T A P
= [1, 0; -1, 1] [1, 1; 1, 2] [1, -1; 0, 1]
= [1, 0; -1, 1] [1, 0; 1, 1]
= [1, 0; 0, 1]
The SAME form is now the plain dot product. We "completed the square":
B = (x1 + x2)^2 + x2^2 in the new coordinates.
Note det A = 1 and det A' = 1: congruence multiplies det by (det P)^2 = 1.
Similarity P^{-1} A P would have given [3, 1; -2, 0] -- NOT symmetric.合同是我们关心的等价关系
若 A' = PᵀAP 对某可逆 P 成立，则两个对称矩阵 A 与 A' 合同。这恰是“同一形式、不同基”的关系。所以将对称双线性型按换基分类，就是将对称矩阵按合同分类。注意合同不改变秩（P 可逆），并把行列式乘以非零平方 (det P)²。在实数上它还不能改变行列式的正负号——这是第 3 篇中等待登场的 符号差 的第一个暗示。