配方法与求根公式

配方法

[[completing-the-square|配方法]]把任意二次式变成一个完全平方三项式加上一个剩余的数，于是你可以用平方根法收尾。诀窍依赖于这个模式：(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2。要重建这个模式，取 x 系数的一半再平方——那就是你要加上（同时减去）以保持方程平衡的数。

Solve  x^2 + 6x - 7 = 0  by completing the square.

    x^2 + 6x = 7              (move constant right)
  half of 6 is 3, and 3^2 = 9:
    x^2 + 6x + 9 = 7 + 9       (add 9 to BOTH sides)
        (x + 3)^2 = 16          (left side is a perfect square)
         x + 3 = ±4             (square-root property)
         x = -3 ± 4
         x = 1   or   x = -7

一次项系数的一半再平方，即可配方。

求根公式：把配方法做到底，一劳永逸

配方法对每个二次方程都奏效——那么，如果你在一般形式 a x^2 + b x + c = 0 上用字母代替数字做一次配方，会怎样呢？得出的结果就是[[quadratic-formula|求根公式]]，这个单一表达式只要你读出 a、b、c 就能解任意二次方程。它不是另一种独立的技巧；它就是被凝固成公式的配方法。

Quadratic formula:

              -b ± sqrt(b^2 - 4ac)
        x  =  --------------------
                      2a

Solve  2x^2 + 3x - 5 = 0   (a = 2, b = 3, c = -5):

    x = ( -3 ± sqrt(3^2 - 4·2·(-5)) ) / (2·2)
    x = ( -3 ± sqrt(9 + 40) ) / 4
    x = ( -3 ± sqrt(49) ) / 4
    x = ( -3 ± 7 ) / 4
    x = 4/4 = 1     or     x = -10/4 = -5/2

读出 a、b、c 后代入——这个公式从不失效。