用因式分解和平方根法求解

零积性质

让因式分解奏效的关键事实只有一条：如果两个量的乘积等于零，那么其中至少有一个为零。这就是[[zero-product-property|零积性质]]，而且右边必须是零才行——这正是我们坚持先化成标准形式的原因。一旦二次式写成 (某式)·(某式) = 0，每个因式就给出各自的简单方程。

把二次方程写成标准形式，使一边为 0。
把左边因式分解成两个一次因式的乘积。
令每个因式等于 0，解出这些小一次方程。
每个根都是曲线与 x 轴相交的值——代入验证。

Solve  x^2 - 5x + 6 = 0  by factoring.

  Need two numbers multiplying to +6, adding to -5:
  those are -2 and -3.

    x^2 - 5x + 6 = 0
    (x - 2)(x - 3) = 0

  Zero-product property:
    x - 2 = 0   or   x - 3 = 0
    x = 2       or   x = 3

  Check x = 2:  4 - 10 + 6 = 0  ✓
  Check x = 3:  9 - 15 + 6 = 0  ✓

两个因式，两个根——令每个因式为零。

当没有一次项时：平方根法

如果二次方程没有 x 项——只有 x^2 和一个常数——你根本不需要因式分解。把平方项孤立出来，再对两边开平方。这就是[[square-root-property|平方根法]]，其关键细节是正负号：若 x^2 = 9，则 x 可能是 +3 或 -3，因为两者的平方都是 9。漏掉负根是这里最常见的错误。

Square-root property:  if  u^2 = k (k ≥ 0),  then  u = ±sqrt(k).

Solve  2(x - 1)^2 - 18 = 0:

    2(x - 1)^2 = 18
      (x - 1)^2 = 9
       x - 1 = ±3        (take the square root, keep ±)
       x - 1 = 3   or   x - 1 = -3
       x = 4       or   x = -2

先孤立平方项，再开平方——绝不要漏掉 ±。