特殊乘积 — JOVANA Education

二项式的平方

特殊乘积是值得记住的 FOIL 结果。第一个是二项式的平方：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。用 FOIL 展开一次就明白原因——外项和内项都是 ab，所以加倍。中间项是两部分乘积的两倍。一个常见错误是写成 (a + b)^2 = a^2 + b^2；那漏掉了 2ab。

(x + 5)^2 = (x + 5)(x + 5)

F: x·x = x^2
O: x·5 = 5x
I: 5·x = 5x
L: 5·5 = 25

= x^2 + 5x + 5x + 25
= x^2 + 10x + 25      ← 10x is 2·(x·5)

With a minus:
(x − 5)^2 = x^2 − 10x + 25

二项式的平方：各部分各自平方，再加上它们乘积的两倍。

结果 a^2 + 2ab + b^2 恰好是一个完全平方三项式——由二项式平方得来的三项式。日后反过来认出它，正是因式分解和配方法的核心。

两数平方差

第二个模式：(a + b)(a − b) = a^2 − b^2。同样的两部分，一次相加、一次相减。用 FOIL 展开，外项（−ab）和内项（+ab）恰好抵消，只留下 a^2 − b^2——即两数平方差。没有中间项幸存。

(x + 7)(x − 7)

F: x·x   = x^2
O: x·(−7)= −7x
I: 7·x   = +7x   ← cancels the −7x
L: 7·(−7)= −49

= x^2 − 49

和乘以差：中间项相消，只剩 a^2 − b^2。

为何值得记住

这些模式两个方向都能用。正着用，让你一行就展开，而不必写四行。反着用，让你立刻看出可分解的形式：x^2 − 49 是平方差，于是分解为 (x + 7)(x − 7)。这种反向解读，正是让因式分解变快的关键。