每一项乘以每一项
多项式乘法基于一个想法：分配律，按需反复使用。第一个多项式的每一项都必须乘以第二个多项式的每一项。两项相乘时，系数相乘、指数相加——这就是指数乘法法则：x^2 · x^3 = x^5。
最简单的情形是单项式乘以多项式：把这个单独的项分配到括号内的每一部分上。这和你第一次乘 3(x + 2) 时做的展开动作完全一样。
2x(3x^2 − 5x + 4) = 2x·3x^2 + 2x·(−5x) + 2x·4 = 6x^3 − 10x^2 + 8x
FOIL：两个二项式
当你把两个二项式相乘时，恰好有四个乘积。FOIL是个口诀，帮你一个都不漏：First（首项）、Outer（外项）、Inner（内项）、Last（末项）。FOIL 不是新规则——它只是分配律在“二乘二”这一特例下的记账方式。
(x + 3)(x − 5) F: x·x = x^2 O: x·(−5) = −5x I: 3·x = 3x L: 3·(−5) = −15 = x^2 − 5x + 3x − 15 = x^2 − 2x − 15 combine the like middle terms
更大的乘积，同样的思路
二项式乘三项式时，把二项式的每一项分配到整个三项式上，然后合并同类项。过程中保持标准形式，并对齐相同次幂——这能让最后的整理几乎自动完成。
(x + 2)(x^2 − 3x + 4)
x·(x^2 − 3x + 4) = x^3 − 3x^2 + 4x
2·(x^2 − 3x + 4) = 2x^2 − 6x + 8
----------------------------------------
= x^3 − x^2 − 2x + 8