分数与小数：有理数的两副面孔

从分数到小数，不过是做除法

分数 a/b 其实是一道等着被做的除法：那条分数线表示“a 除以 b”。所以 3/4 = 3 ÷ 4 = 0.75，而 1/3 = 1 ÷ 3 = 0.333…。3/4 与 1/3 都是有理数，它们的小数形式也是——分数与小数不过是同一个数的两副面孔。

3/4 as a decimal — long-divide 3.000 by 4:

     0.75
   ┌────────
 4 │ 3.00
     2 8        (4×7=28)
     ───
       20
       20        (4×5=20)
       ──
        0        remainder 0 → it stops

So 3/4 = 0.75  (a terminating decimal)

用分子除以分母，就能把任何分数化为它的小数。

为什么有些小数会停，有些却循环

当长除法最终出现余数 0 时，小数就停下——这便是有限小数，如 0.75 或 0.4。当余数开始循环、永远不到 0 时，同一串数字便无限重复——这便是循环小数，如 1/3 = 0.333… 或 1/7 = 0.142857142857…。我们在循环节上方加一横来表示。无论哪种，这个数仍是有理数；决定因素只是：化为最简后分母的质因数是否仅含 2 与 5（则有限），还是含有别的质因数（则循环）。

把循环小数还原成分数

既然循环小数是有理数，你总能用一个漂亮的代数技巧把它的分数找回来：乘以 10 的某次幂，使其恰好移过一个完整的循环节，再相减，把那条无限的尾巴消去。最后别忘了把分数化为最简形式。

Write 0.272727… as a fraction.

  Let x = 0.272727…
  Two repeating digits → multiply by 100:
      100x = 27.272727…
         x =  0.272727…
  Subtract:
      99x = 27
        x = 27/99
  Reduce by gcd(27,99)=9:
        x = 3/11        ✓  check: 3 ÷ 11 = 0.2727…

移位、相减、求解——每个循环小数背后都藏着一个分数。