为什么我们不断发明新的数
数并非一次性出现，而是随着一个又一个需求逐渐成长。你先数羊：1、2、3、……——这就是自然数。接着有人问，把羊全卖光之后还剩几只，你就需要零；自然数加上零，便是整数（非负整数）。欠别人两只羊，你又需要负数，于是有了整数……、−2、−1、0、1、2、……。把一只羊分给三个人，你便需要分数——也就是有理数。每一种新的数，都是为了回答旧有的数无法回答的问题而被发明的。
有理数是任何能写成两个整数之比 a/b（b 不为零）的数——这包括 7（= 7/1）、−3/4，以及 0.25（= 1/4）。很长一段时间里，人们相信每一个数都是有理的。后来几何学产生了 sqrt(2)，即单位正方形对角线的长度，结果发现没有任何分数等于它。像这样的数就是无理数。
一个盒子套着一个盒子
关键的图景是：这些数集层层嵌套。每个自然数都是整数；每个整数（含负数）都属于整数集；每个整数都是有理数；而所有有理数连同所有无理数，合起来构成实数——也就是整条没有空隙的数轴。所以 5 同时是自然数、整数、有理数和实数。你用哪个名称，只取决于你指的是哪一个盒子。
naturals ⊂ wholes ⊂ integers ⊂ rationals ⊂ reals 1, 2, 3 + 0 + (−1,−2) + 3/4, −7/2 + sqrt(2), π Classify each number (smallest box it fits): 6 → natural 0 → whole −4 → integer 2/5 → rational sqrt(9)=3 → natural (careful: it simplifies!) sqrt(2) → irrational π → irrational