整除、因数与倍数

一个数何时整除另一个数？

数论研究的是整数——即 …, -2, -1, 0, 1, 2, … 这些整数——只用四则基本运算。第一个概念是[[divisibility|整除]]。当 b 能被分成若干个大小为 a 的相等组而没有剩余时，我们就说整数 a 整除 整数 b。用符号表示，a 整除 b（记作 a | b）意味着存在整数 k 使得 b = a·k。

因此 3 | 12，因为 12 = 3·4；但 3 不整除 13，因为没有整数乘以 3 恰好等于 13。这条竖线是关于两个数的“是”或“否”的论断；不要把它和分数 3/12 混淆。

因数与倍数：同一事实的两种视角

如果 a | b，我们称 a 是 b 的因数（或约数），并称 b 是 a 的[[multiple|倍数]]。它们从两端描述同一种关系：4 是 12 的因数，而 12 是 4 的倍数。列出一个数的所有因数，无非就是寻找每个能整除它的 a。

All factors of 24:
  1 × 24 = 24
  2 × 12 = 24
  3 ×  8 = 24
  4 ×  6 = 24
So the factors are: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Notice factors come in PAIRS that multiply to 24.
You only test up to sqrt(24) ≈ 4.9, because
after that the pairs just repeat in reverse.

最大公因数与最小公倍数的通俗说法

两个数通常会共有若干因数。它们共有的最大因数就是[[greatest-common-factor|最大公因数]]，而它们都能整除的最小正数就是[[least-common-multiple|最小公倍数]]。这两个概念贯穿后续所有内容——从约分到合并周期都用得上。

1. 列出每个数的因数。12 的因数：{1,2,3,4,6,12}；18 的因数：{1,2,3,6,9,18}。
2. 公因数是 {1,2,3,6}；最大的是 6，所以 GCF(12,18) = 6。
3. 列出倍数：12,24,36,… 和 18,36,…；最先共有的是 36，所以 LCM(12,18) = 36。
4. 验证：GCF × LCM = 6 × 36 = 216 = 12 × 18。这条乘积规律永远成立。