半单是什么意思
若把环 R 看作其自身上的左模时它是 单模 的直和，则称 R 是半单的。等价地——这才是好用的定义——每个左 R-模都是 完全可约的：它分解为单模的直和，于是每个 子模 都是直和项。没有需要解开的扩张，没有不分裂的非平凡 短正合列。局部地看，生活就像域上的线性代数一样轻松。
Schur 引理作为引擎
整套结构理论靠一个微小的观察运转。Schur 引理：单模之间的同态要么为零，要么是同构。因此单模 S 的自同态环 End_R(S) 是一个 除环——每个非零自同态都可逆。除环不是凭空规定的，而是作为单模的自同态环出现的。 这就是 M_n(D) 中那个 D 的来源。
把 Schur 引理与另一个想法结合：对任意 R-模 M，有 End_R(M^n) ≅ M_n(End_R(M))。n 个副本的直和的自同态被组织成一个 n×n 的分量映射网格，恰如一个矩阵。把这两个事实并排放在一起，M_n(D) 的形状已经无可避免。
Artin-Wedderburn 定理
高潮在此。Artin-Wedderburn 定理：半单环 R 同构于除环上矩阵环的有限直积 R ≅ M_{n_1}(D_1) × ⋯ × M_{n_r}(D_r)。其中 r 等于单模的同构类个数；D_i 是它们的自同态除环（至多相差一个 op）；而 n_i 与 D_i 都唯一确定。单的半单环恰好就是单个因子 M_n(D)。
- 把 R = ⊕ L_i 作为左模分解为单左理想，并把同构于同一单模 S_j 的那些 L_i 归入同型块。
- 每个同型块都是一个双侧理想 B_j，并且作为环 R = B_1 × ⋯ × B_r（各块互相零化）。
- 用模作用的对偶计算 R = End_R(R)；由 Schur 引理，块 B_j 变为 End_R(S_j^{n_j}) ≅ M_{n_j}(D_j)，其中 D_j = End_R(S_j)。
- 唯一性：单模及其重数是 R 的不变量，故 (n_j, D_j) 在排序与 op 意义下唯一确定。
Example: take complex group algebra C[S_3], dimension 6.
S_3 has three irreducible reps over C:
trivial (dim 1)
sign (dim 1)
standard (dim 2)
Artin-Wedderburn forces
C[S_3] ≅ M_1(C) × M_1(C) × M_2(C).
Dimension check: 1^2 + 1^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6. Matches |G| = 6.
The rule sum of (dim of irreducible)^2 = |G| is exactly the
Wedderburn dimension count for the semisimple ring C[G].