矩阵环的理想
设 D 是 除环，R = M_n(D) 是 D 上的 n×n 矩阵环。重点是：R 是 单环——它仅有的 双侧理想 就是 0 和 R 自身。这与 交换商环 形成强烈反差，那里理想遍地都是。矩阵环几乎没有理想，而这种稀缺正是关键所在。
证明很具体。设 E_ij 是在位置 (i,j) 处为 1 的矩阵单位。若双侧理想 I 含某个非零矩阵 A，则它含某个元素 a = A_kl ≠ 0。于是 E_ik A E_lj 属于 I 且等于 a·E_ij，又因 a 在 D 中可逆，乘上去即整理成 E_ij。一旦某个矩阵单位在 I 中，所有矩阵单位都在 I 中，它们之和为单位矩阵——故 I = R。
Work in M_3(D). Suppose A in I with A_21 = a != 0.
E_12 * A * E_13 picks out entry A_21 = a and reseats it:
= a * E_13 in I.
Left-multiply by (a^-1) * E_11 (allowed, scalar a^-1 in D):
(a^-1) E_11 * (a E_13) = E_13 in I.
Conjugating E_13 by permutation matrix units gives E_11, E_22, E_33;
their sum is the identity matrix => 1 in I => I = M_3(D).
Moral: one nonzero element of an ideal already forces the whole ring.左理想不是双侧理想
这些列模彼此同构，而 M_n(D) 上任意 单模 都同构于这唯一的列模 D^n。所以矩阵环在同构意义下恰有一个单模。这个事实是接下来整套分类的种子。
对偶环
当顺序重要时，左与右是真正不同的，而切换两侧的记账工具就是 对偶环 R^op：底集与加法不变，但新乘法定义为 a ∗ b := ba。一个左 R-模与一个右 R^op-模是同一份数据。转置给出一个漂亮的事实：M_n(D)^op ≅ M_n(D^op)，因为 (AB)^T = B^T A^T 替你翻转了顺序。