当 ab ≠ ba：除环与四元数

放弃交换律

在第一卷里，域是一个含幺元 1 的交换环，其中每个非零元都可逆。去掉“交换”二字，就得到除环（也叫斜域）：一个 1 ≠ 0 的环，每个非零元都有双侧乘法逆元，但 ab 与 ba 可以不同。域恰好就是交换的除环。整个学科从这个问题开始：还有别的吗？

诚实的答案是有，但它们稀少而珍贵。在实数上，能构造的有限维非交换除环本质上只有一个：四元数。这种稀缺是一条定理（Frobenius 定理），不是巧合，它告诉你：一旦固定了中心，这个世界有多么刚硬。

构造四元数

Hamilton 的四元数 H 是一个 4 维实向量空间，基为 1, i, j, k。乘法由三条规则加上双线性性唯一确定。下面是完整的乘法表——注意它关于对角线不对称，这恰好就是交换律的失效。

Defining relations:   i^2 = j^2 = k^2 = -1,   ij = k,   ji = -k

Full table (row * column):
        1     i     j     k
  1     1     i     j     k
  i     i    -1     k    -j
  j     j    -k    -1     i
  k     k     j    -i    -1

So ij = k but ji = -k:  ij - ji = 2k  ≠ 0.  Order matters.

Inverse of q = a + bi + cj + dk:  use the conjugate q* = a - bi - cj - dk.
  q q* = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = N(q)  (a nonneg real),
  so for q ≠ 0,   q^(-1) = q* / N(q).
Every nonzero q is invertible  =>  H is a division ring.

四元数乘法表，以及让 H 成为除环的共轭技巧。

有限即交换

这是本学科第一个真正令人吃惊的定理。Wedderburn 小定理：每个有限除环都是域。非交换除环存在，但绝不会只有有限个元素。实数上的四元数之所以是无限的，是有原因的——在有限域上，根本没有空间逃离交换性。