对偶空间及其基
对偶空间 $V^* = \operatorname{Hom}(V, R)$ 是 $V$ 上线性泛函的模——其元素吃进一个向量、返回一个标量。若 $V$ 有限维、基为 $(e_1, \ldots, e_n)$，则对偶基 $(e^1, \ldots, e^n)$ 由 $e^i(e_j) = \delta^i_j$ 定义（Kronecker delta：$i=j$ 时为 $1$，否则为 $0$）。于是 $e^i$ “读出第 $i$ 个坐标”。从而 $\dim V^* = \dim V$，且存在典范同构 $V \cong V^{}$——但若无额外结构（如一个[[bilinear-form|双线性形式]]），没有**典范的 $V \cong V^*$。
$(p,q)$ 型张量与缩并
$V$ 上的 $(p,q)$ 型张量是 $\;\underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{p} \otimes \underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{q}$ 的元素——$p$ 个逆变（上）位与 $q$ 个协变（下）位。$(1,0)$ 型是向量，$(0,1)$ 型是余向量，$(1,1)$ 型是线性自同态（一个矩阵），$(0,2)$ 型是双线性形式。缩并是这样一个线性映射：它经由求值 $V \otimes V^* \to R$，$v \otimes \alpha \mapsto \alpha(v)$，把一个上位与一个下位配对，将型从 $(p,q)$ 降到 $(p-1, q-1)$。
Contraction = trace, made concrete. A type-(1,1) tensor is
T = sum_{i,j} T^i_j (e_i (x) e^j) in V (x) V^*.
Contracting the upper slot against the lower slot:
C(T) = sum_{i,j} T^i_j . e^j(e_i)
= sum_{i,j} T^i_j . delta^j_i
= sum_i T^i_i = trace(T). <- the diagonal sum!
So 'contract the two indices of a (1,1) tensor' IS 'take the trace.'
Basis-independence of trace is now obvious: contraction was defined
without reference to any basis (it is the canonical map V (x) V* -> R).
Einstein summation, decoded. Writing alpha_i v^i with an implied sum
over the repeated index i is exactly the contraction
V* (x) V -> R, alpha (x) v |-> alpha(v) = sum_i alpha_i v^i.
A repeated upper/lower index pair always means 'contract here.'你现在能读懂什么
握有对偶基、型与缩并之后，指标记号不再神秘。矩阵乘积 $C^i_k = \sum_j A^i_j B^j_k$ 是一个 $(1,1)$ 与一个 $(1,1)$ 沿一对指标的缩并；转置交换哪个位是哪个；行列式是完全反对称的缩并 $\det A = \frac{1}{n!}\,\varepsilon_{i_1\cdots i_n}\varepsilon^{j_1\cdots j_n} A^{i_1}_{j_1}\cdots A^{i_n}_{j_n}$——恰是第 4 篇顶层外幂故事的坐标写法。