无公式的行列式
设 $\dim V = n$，故 $\Lambda^n(V)$ 是一维的。线性映射 $T: V \to V$ 通过 $v_1 \wedge \cdots \wedge v_n \mapsto Tv_1 \wedge \cdots \wedge Tv_n$ 诱导出 $\Lambda^n(T): \Lambda^n(V) \to \Lambda^n(V)$。一维空间的任何线性自同态都是某标量的乘法——而那个标量就是 $T$ 的[[determinant-exterior-power|行列式]]。没有置换求和、没有余子式展开、没有基：$\det T$ 只是 $T$ 缩放顶层形式的倍数。
Multiplicativity in one line. Lambda^n is a functor on linear maps:
Lambda^n(S . T) = Lambda^n(S) . Lambda^n(T).
Reading off scalars on the 1-dim space Lambda^n(V):
det(S.T) = det(S) . det(T). Done. No index gymnastics.
Recovering the classical formula. Fix basis e_1,...,e_n and let T have
matrix A = (a_{ij}), i.e. T e_j = sum_i a_{ij} e_i. Then
T e_1 ^ ... ^ T e_n
= ( sum_i a_{i1} e_i ) ^ ... ^ ( sum_i a_{in} e_i ).
Expand; any term with a repeated e_i dies (e_i ^ e_i = 0), so only
permutations survive, each contributing a sign = sgn(sigma):
= ( sum_{sigma in S_n} sgn(sigma) a_{sigma(1),1} ... a_{sigma(n),n} )
. (e_1 ^ ... ^ e_n).
The scalar in parentheses is exactly the Leibniz formula for det(A).
Check on 2x2, A = [a, b; c, d]:
(a e_1 + c e_2) ^ (b e_1 + d e_2)
= ad (e_1^e_2) + cb (e_2^e_1) = (ad - bc)(e_1^e_2). det = ad - bc.对称代数：用交换性取代符号
对 $T(V)$ 用另一条自然关系——$v \otimes w - w \otimes v$——取商，便得到对称代数 $S(V) = T(V) / (v \otimes w - w \otimes v)$，其中乘法是交换的。外代数要求变号，对称代数则要求次序完全无关紧要。其 $k$ 次部分 $S^k(V)$ 以 $V$ 一组基上的无序单项式为基，故 $\dim S^k(V) = \binom{n+k-1}{k}$。
妙处在于：若 $V$ 有基 $x_1, \ldots, x_n$，则 $S(V)$ 典范地就是多项式环 $R[x_1, \ldots, x_n]$，按总次数分次。于是对称代数是“多项式环”的无坐标、无关基的含义——且满足泛性质：到交换代数的线性映射 $V \to A$ 唯一延拓为代数同态 $S(V) \to A$。这是从多线性代数通往交换代数及其上几何的桥梁。