叠加幂次：张量代数
记 $V^{\otimes k} = V \otimes \cdots \otimes V$（$k$ 个因子），其中 $V^{\otimes 0} = R$，$V^{\otimes 1} = V$。张量代数是直和 $T(V) = \bigoplus_{k \ge 0} V^{\otimes k}$，其乘法由拼接给出：$(v_1 \otimes \cdots \otimes v_p)\cdot(w_1 \otimes \cdots \otimes w_q) = v_1 \otimes \cdots \otimes v_p \otimes w_1 \otimes \cdots \otimes w_q$。这使 $T(V)$ 成为分次代数——按张量次数分次——并且实为 $V$ 上的自由结合代数：任何到结合代数的线性映射 $V \to A$ 都唯一延拓为代数同态 $T(V) \to A$。这又是一个泛性质。
$T(V)$ 庞大且非交换——一般地 $v \otimes w \ne w \otimes v$。外代数与对称代数是 $T(V)$ 最重要的两个商，由额外施加一条关系得到。把 $T(V)$ 看作原料，把后面的代数看作要求一条符号规则（外）或交换性（对称）所得之物。
施加 $v \wedge v = 0$
外代数是 $\Lambda(V) = T(V) / I$，其中 $I$ 是由全部 $v \otimes v$ 生成的双边理想。诱导出的乘积是楔积 $\wedge$，而定义关系 $v \wedge v = 0$ 迫使反对称性：$0 = (v+w)\wedge(v+w) = v\wedge w + w\wedge v$，故 $v \wedge w = -\,w \wedge v$。更一般地，交换任意两个相邻因子都改变符号——楔运算正是交错（即变号）多线性映射的代数。
Dimensions of the exterior powers. If dim V = n, then
dim Lambda^k(V) = C(n, k) (binomial), and total dim Lambda(V) = 2^n.
Basis of Lambda^k(V): { e_{i_1} ^ ... ^ e_{i_k} : i_1 < i_2 < ... < i_k }.
Why 'i_1 < ... < i_k'? Any repeat gives 0 (since e_i ^ e_i = 0), and any
reordering only changes the sign, so strictly increasing indices list each
basis element exactly once.
Worked example, n = 3, basis e_1,e_2,e_3:
Lambda^0 : 1 (dim 1)
Lambda^1 : e_1, e_2, e_3 (dim 3)
Lambda^2 : e_1^e_2, e_1^e_3, e_2^e_3 (dim 3)
Lambda^3 : e_1^e_2^e_3 (dim 1) <- the TOP power, one-dimensional
Compute (e_1 + 2e_2) ^ (e_2 - e_3):
= e_1^e_2 - e_1^e_3 + 2 e_2^e_2 - 2 e_2^e_3
= e_1^e_2 - e_1^e_3 - 2 e_2^e_3 (the 2 e_2^e_2 term vanishes).楔积度量有向体积
几何上，$v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$ 表示由 $v_i$ 张成的平行多面体的有向 $k$-体积。反对称性编码了定向（交换两条边即变号）与退化（两条相等的边给出零体积）。一组向量线性无关当且仅当其楔积非零——楔运算是一个干净、无需基的无关性探测器。