张量积及其泛性质

泛性质就是定义

$R$-模 $M$ 与 $N$ 的张量积是一个模 $M \otimes_R N$，配上一个双线性映射 $\otimes: M \times N \to M \otimes_R N$，$(m,n) \mapsto m \otimes n$，满足泛性质：对每个 $R$-模 $P$ 和每个双线性映射 $b: M \times N \to P$，存在唯一的线性映射 $\bar b: M \otimes_R N \to P$ 使 $\bar b(m \otimes n) = b(m,n)$。 一句话：从 $M \times N$ 出发的双线性映射 = 从 $M \otimes N$ 出发的线性映射。这个双射就是该对象存在的全部理由。

构造它，以及你必须遵守的关系

存在性是一个商构造。先取以符号集 $\{(m,n)\}$ 为基的庞大自由模 $F$，再对由全部双线性关系生成的子模取商。这些符号的类记作 $m \otimes n$，称为纯（或简单）张量。关键在于：并非 $M \otimes N$ 的每个元素都是纯张量——一般元素是有限和 $\sum_i m_i \otimes n_i$，而重写可把长和压缩为短和。

第一位加性：$(m + m') \otimes n = m \otimes n + m' \otimes n$。
第二位加性：$m \otimes (n + n') = m \otimes n + m \otimes n'$。
标量可滑过：$(rm) \otimes n = r(m \otimes n) = m \otimes (rn)$，其中 $r \in R$。
由此 $m \otimes 0 = 0 = 0 \otimes n$，且你可自由地在两个因子之间搬动环元素。

Basis of a tensor product (over a field k).  If (e_i) is a basis of M
and (f_j) a basis of N, then (e_i (x) f_j) is a basis of M (x) N.
Hence   dim(M (x) N) = (dim M)(dim N).        <- the mn from guide 1!

Worked relation in R^2 (x) R^2.  Let v = e_1 + e_2, w = e_1 - e_2.
  v (x) w = (e_1 + e_2) (x) (e_1 - e_2)
          = e_1(x)e_1 - e_1(x)e_2 + e_2(x)e_1 - e_2(x)e_2.
So the single pure tensor v (x) w expands to 4 basis tensors.

Conversely, e_1(x)e_1 + e_2(x)e_2 is NOT a pure tensor: no a(x)b equals it
(its 'matrix' [1,0;0,1] has rank 2, while a pure tensor a(x)b has rank 1).

纯张量是秩 $\le 1$ 的“矩阵”；更高秩的纯张量之和无法写成单个 $a \otimes b$。基的计数复现了第 1 篇的 $mn$。

首份回报：标量扩张

若 $R \to S$ 是环同态，$M$ 是 $R$-模，则 $S \otimes_R M$ 自然地是 $S$-模——你完成了标量扩张，把 $M$ 提升到更大的环 $S$ 上。把实向量空间复化，恰是 $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} V$。这一步支撑着几何中的基变换、不同域上的表示论，以及矩阵的Kronecker 积。