在每个位置上分别线性
设 $R$ 是交换环，$M$、$N$、$P$ 是 $R$-模。双线性映射 $b: M \times N \to P$ 是这样一个函数：固定其中一个变量时，对另一个变量线性。具体地，对所有 $m, m' \in M$、$n, n' \in N$、$r \in R$：$b(m+m', n) = b(m,n) + b(m',n)$、$b(rm, n) = r\,b(m,n)$，以及第二个位置上对称的一对条件。若你已熟悉向量空间，第一遍阅读时把“模”读作“向量空间”即可——本指南不会出问题。
多线性映射是同样的想法，只是有 $k$ 个位置：$f: M_1 \times \cdots \times M_k \to P$ 在每个 $M_i$ 上分别线性。点积、叉积、矩阵乘法、作为列函数的行列式——全都是多线性的。某种意义上，整门学科就是对这些映射的系统研究。
一个双线性映射含多少信息？
在域上，固定 $M$ 的基 $(e_i)$ 与 $N$ 的基 $(f_j)$。双线性性表明：一个双线性映射完全由它在基向量对上的取值 $b(e_i, f_j)$ 决定，且这些值可任意选取。于是 $\dim M = m$、$\dim N = n$ 时，双线性形式 $b: M \times N \to k$ 恰好是一个 $m \times n$ 的矩阵——数组 $B_{ij} = b(e_i, f_j)$。$mn$ 个自由参数这一计数，是双线性映射想住在维数为 $mn$ 而非 $m+n$ 的空间里的第一个暗示。
Example: a bilinear form on R^2. Take M = N = R^2 with basis e_1, e_2.
A bilinear form b is fixed by the four numbers
B = [ b(e_1,e_1), b(e_1,e_2); b(e_2,e_1), b(e_2,e_2) ].
Then for x = x_1 e_1 + x_2 e_2 and y = y_1 e_1 + y_2 e_2,
b(x, y) = sum_{i,j} x_i B_{ij} y_j = x^T B y (row vector x^T, column y).
Concrete dot product: B = [1, 0; 0, 1] gives b(x,y) = x_1 y_1 + x_2 y_2.
A skew example: B = [0, 1; -1, 0] gives b(x,y) = x_1 y_2 - x_2 y_1
= det([x_1, y_1; x_2, y_2]).
Note b(x,x) = 0 here: this alternating form will reappear as the wedge product.两类特殊的双线性形式现在就值得命名，并在以后有自己的篇章：对称形式满足 $b(x,y) = b(y,x)$（矩阵 $B = B^T$），而斜或交错形式满足 $b(x,x) = 0$（在特征非 $2$ 时迫使 $b(x,y) = -b(y,x)$）。上面那个斜的例子，正是整个外代数的种子。
梦想：把“双线性”变成“线性”
线性代数之所以强大，正是因为线性映射可经矩阵分解、能干净地复合、并拥有核与像。双线性映射直接地没有这套机器。于是接下来本篇章的纲领是：构造一个单一空间 $M \otimes N$ 与一个单一的双线性映射 $\otimes: M \times N \to M \otimes N$，它如此泛，以至于每个从 $M \times N$ 出发的双线性映射都变成从 $M \otimes N$ 出发的普通线性映射。 于是线性代数的整套工具便适用于多线性问题。