读懂一条短正合列
一列模与映射在某处正合，是指那里像 = 核。一条短正合列 0 → A → B → C → 0 同时打包三句话：A → B 单（故 A 是 B 的子模）、B → C 满、且 C ≅ B/A。把它读作“B 由子模 A 与商 C 装配而成”。关于 B 的几乎一切结构问题都化为：B 如何由其零件 A 与零件 C 拼成？
Two short exact sequences with the SAME ends but different middles.
(1) 0 -> Z/2Z -> Z/4Z -> Z/2Z -> 0
inclusion {0,2} ↪ Z/4Z, then Z/4Z ↠ Z/4Z over {0,2} = Z/2Z.
Middle is Z/4Z: a single cyclic group, NOT a direct sum.
(2) 0 -> Z/2Z -> Z/2Z (+) Z/2Z -> Z/2Z -> 0
include into first factor, project to second.
Middle is the Klein four-group (Z/2Z)^2.
Same A = C = Z/2Z on the ends, but Z/4Z is NOT isomorphic to (Z/2Z)^2
(one has an element of order 4, the other does not). So knowing A and C
does NOT determine B. The difference is whether the sequence SPLITS:
(2) splits, (1) does not. That single bit is the extension problem.何时分裂？
当 B ≅ A ⊕ C 且相容时，短正合列分裂——等价地，满射 B → C 有截面（右逆），或单射 A → B 有缩回（左逆）。分裂引理说这些条件互相等价。分裂正是上面例 (1) 与 (2) 的区别。一个干净的充分条件：若 C 投射，则每条以 C 结尾的短正合列都分裂——这其实是投射的一种定义。对偶地，若 A 内射，则每条以 A 开头的列都分裂。
诺特与阿廷：驯服无穷
若一个模满足升链条件（每条递增子模链都稳定），等价地每个子模都有限生成，则称它诺特。若满足降链条件，则称它阿廷。关键引理：在短正合列 0 → A → B → C → 0 中，B 诺特（或阿廷）当且仅当 A 与 C 皆然。故这两个性质对子模、商、扩张封闭——正是你所要的闭合性。
一个模同时诺特且阿廷，当且仅当它有合成列：链 0 = M₀ ⊂ M₁ ⊂ ⋯ ⊂ Mₙ = M，每个商 Mᵢ/Mᵢ₋₁ 皆单。Jordan-Hölder 定理于是保证长度 n 与单商的多重集是 M 的不变量，与所选列无关——正是整数素因子分解的模类比。注意 Z 诺特但非阿廷（链 Z ⊋ 2Z ⊋ 4Z ⊋ ⋯ 永不停止），故它无合成列，与其无穷大小相称。