自由模：能有基时的基
自由模是有基的模：一组既生成又 R-线性无关的元素。等价地 F ≅ ⨁ᵢ R，是若干份 R 的直和。自由模最接近向量空间，并享有处处定义基的那条泛性质：从自由模出发的映射，由基的去向自由地决定。在域上每个模都自由（这正是基定理），但在 Z 上模 Z/2Z 不自由——它有挠，而整环上的自由模都无挠。
投射与内射：提升与扩张
若每个映到 P 的满射都分裂，则 P 是投射的——等价地，从 P 出发的每个映射都能沿任意满射提升：给定 M ↠ N 与 P → N，存在 P → M 使三角交换。最干净的刻画：P 投射当且仅当它是某自由模的直和项。 每个自由模都投射；逆未必成立。在主理想整环（或任何局部环）上投射与自由重合，这正是为何投射性在初课中难得露面——它需要比 Z 更粗糙的环。
把每个箭头对偶，便得内射：若每个映入 I 的映射都能扩张，则 I 内射——给定单射 A ↪ B 与映射 A → I，它扩张为 B → I。“自由模的直和项”的对偶难以图示，但 Baer 判别法使内射性可检验：I 内射当且仅当每个从理想出发的映射 a → I 都能扩张为 R → I。在 Z 上，内射 = 可除：Q 与 Q/Z 是标准的内射 Z-模。
平坦：张量而不损伤
函子 M ⊗_R –（见张量积）总保持满射，却可能破坏单射。若与 M 张量也保持单射——即 M ⊗_R – 正合——则称 M 平坦。自由 ⟹ 投射 ⟹ 平坦，且这些箭头一般都不可逆。在主理想整环上，平坦 ⟺ 无挠，给出一行即可的判据。
Why Z/2Z is NOT flat over Z — a tensor that kills an injection. Start with the injection f : Z -> Z, f(x) = 2x. (multiplication by 2) It is injective: 2x = 0 in Z forces x = 0. Apply - (x)_Z Z/2Z to the whole map. Using Z (x) Z/2Z = Z/2Z: f (x) id : Z/2Z -> Z/2Z becomes [a] |-> [2a] = [0]. So the tensored map is the ZERO map on Z/2Z. But the original f was INJECTIVE and the tensored map is NOT (its kernel is all of Z/2Z). Tensoring with Z/2Z broke injectivity => Z/2Z is not flat. Consistent with: over a PID, flat = torsion-free, and Z/2Z is all torsion. Meanwhile Q IS flat over Z (it is torsion-free); tensoring with Q is exact -- this is just "localization," passing to rational scalars.