同态、商模与同构定理

R-线性映射与 Hom 模

模同态（或 R-线性映射）f : M → N 是底层阿贝尔群之间的群同态，且与作用可交换：f(rm) = r f(m)。当 R = k 时这恰是线性变换；当 R = Z 时恰是群同态——模的概念再次同时吞下二者。核 ker f = { m : f(m) = 0 } 是 M 的子模，像 im f 是 N 的子模。

一处微妙而有用之处：所有 R-线性映射的集合 Hom_R(M, N) 在逐点加法下本身是阿贝尔群，而当 R 交换时它通过 (rf)(m) = r·f(m) 成为 R-模。这种自指的丰富性——模的 Hom 又是模——正是后几篇同调机器得以运转的根基。整套结构组织为范畴 R-Mod，对象是模，箭头是 R-线性映射。

商模与四条定理

由于子模自动“正规”（群是阿贝尔的，无须担心正规性），每个子模 N ⊆ M 都给出商模 M/N：陪集 m + N，作用为 r(m+N) = rm + N，其良定恰因 N 是子模。商映射 M → M/N 是 R-线性的，核为 N。由此同构定理被强制成立，完全平行于群与环的情形。

第一定理。 对 f : M → N，有 M/ker f ≅ im f。模去核即得到像——这正是“通过核分解”的普遍陈述。
第二定理（菱形）。 对子模 A、B：(A+B)/B ≅ A/(A∩B)。
第三定理。 对 N ⊆ L ⊆ M：(M/N)/(L/N) ≅ M/L——“约去 N”。
第四定理（对应）。 M/N 的子模与 M 中包含 N 的子模之间存在保序双射对应。

Worked instance of the First Isomorphism Theorem, R = Z.

Define f : Z -> Z/6Z by f(n) = n mod 6. This is Z-linear and onto.
  ker f = { n : n = 0 mod 6 } = 6Z
  im f  = Z/6Z
First theorem:  Z / 6Z  ≅  Z/6Z.   (a tautology here, but it CHECKS)

Now the Third theorem with N = 6Z, L = 2Z, M = Z (so 6Z ⊆ 2Z ⊆ Z):
  M/N = Z/6Z   has 6 elements {0,1,2,3,4,5}
  L/N = 2Z/6Z = {0,2,4}   the even classes, a submodule of order 3
  (M/N)/(L/N) = (Z/6Z)/{0,2,4}   has 6/3 = 2 elements
  M/L = Z/2Z   also has 2 elements
Indeed (Z/6Z)/(2Z/6Z) ≅ Z/2Z.   The N's cancel.

在 Z 与 Z/6Z 上验证第一与第三同构定理。

单模：原子

若一个非零模的子模只有 0 与自身，则称它为单模——是单群的模类比。由对应定理，单模恰为商 R/m，其中 m 是极大理想：循环，且因 m 极大而无真非零子模。它们是不可再分的基本块；第 4 篇将把它们叠成合成列。