定义，以及那条改变一切的公理
你早已认识两个模的例子，只是不知道这个词。向量空间是一个能用域中元素去数乘的阿贝尔群。而阿贝尔群本身则是能用整数去数乘的东西——把一个元素自加 n 次。把“域”或“Z”换成任意环 R，得到的就是模：一个阿贝尔群 M，配上映射 R × M → M，记作 (r, m) ↦ rm，满足 r(m+n)=rm+rn、(r+s)m=rm+sm、(rs)m=r(sm) 以及 1m=m。
这些公理与向量空间的公理逐字相同。只有一处变了：R 不必是域，于是非零的 r 不必可逆。这唯一的放宽，就是整门学科。在域上你总能除以非零标量，所以每个向量空间都有基。一旦不能除，基可能消失、维数可能无法良定，于是全新的现象——挠、非自由模、投射性——纷纷登场。
你早已熟识的模之画廊
- Z-模就是阿贝尔群。 给定阿贝尔群 A，作用 n·a（a 自加 n 份）是唯一可能的，故 Z-模范畴与阿贝尔群范畴根本是同一个。
- 环是自身上的模。 R 通过左乘作用在 R 上。其子模恰好是 R 的理想——这正是为何理想理论是伪装的模论。
- 带算子的向量空间是 k[x]-模。 设 V 是域 k 上的向量空间，T 是线性映射。定义 x·v = T(v)，则 V 成为多项式环 k[x] 上的模，而 V 作为 k[x]-模的结构正编码了 T 的有理标准形与 Jordan 标准形。
子模 N ⊆ M 是对作用封闭的子群（对所有 r、n 有 rn ∈ N）。子模的交仍是子模，故对任意子集 S ⊆ M 存在包含 S 的最小子模——由 S 生成的子模，记作 RS = { Σ rᵢsᵢ : rᵢ ∈ R, sᵢ ∈ S }。当单个元素就能生成整个 M 时称 M 为循环模，即循环群的模类比。
挠与零化子：域曾向你隐瞒的东西
在域上，rv = 0 且 r ≠ 0 迫使 v = 0——乘以 r⁻¹ 即可。在一般环上这会失败，而这失败有个名字。若存在非零 r ∈ R 使 rm = 0，则称 m 为挠元。零化子 Ann(m) = { r ∈ R : rm = 0 } 是一个理想；Ann(M) = { r : 对所有 m 有 rm = 0 } 衡量 R 中有多少元素零作用。在挠模中每个元素都被某个非零元素消灭。
Take R = Z and M = Z/6Z, an abelian group hence a Z-module.
The element 2 in Z/6Z is torsion: 3 * 2 = 6 = 0, with 3 != 0 in Z.
So Ann(2) = { n in Z : n*2 = 0 mod 6 } = 3Z.
The element 1 has Ann(1) = 6Z (since 6*1 = 0 is the first hit).
The whole module: Ann(M) = 6Z, because 6 kills everything.
EVERY element of Z/6Z is torsion, so Z/6Z is a torsion Z-module.
Contrast Z itself: n*1 = 0 forces n = 0, so Z is torsion-FREE.
This cannot happen over a field: if k is a field, the only
torsion element of any k-vector space is 0.