求解方程组：克莱姆法则与行简化

克莱姆法则：用行列式求解

取一个方程组，读出它的系数矩阵。克莱姆法则说，每个未知数都是两个行列式之比：分母是系数矩阵的行列式 D；分子则把该变量所在的那一列替换成右端的常数。

System:   2x + 3y = 8
          1x - 1y = -1

D  = det[ 2  3 ; 1  -1 ] = 2*(-1) - 3*1   = -5
Dx = det[ 8  3 ; -1 -1 ] = 8*(-1) - 3*(-1) = -5   (x-column -> constants)
Dy = det[ 2  8 ; 1  -1 ] = 2*(-1) - 8*1   = -10  (y-column -> constants)

x = Dx / D = -5 / -5 = 1
y = Dy / D = -10 / -5 = 2

Check: 2(1)+3(2)=8  and  1-2=-1.  Both hold.

对 2×2 方程组用克莱姆法则：把某一列换成常数，再取比值。

增广矩阵与行运算

第二种方法把整个方程组装进一个增广矩阵：左边是系数，一条竖线，右边是常数。然后我们用三种初等行运算把它整理干净，每一种都不改变解。

交换两行（重排方程）。
把某一行乘以一个非零数（缩放一个方程）。
把某一行的倍数加到另一行（合并方程以消去一个变量）。

化到简化行阶梯形

高斯消元法的目标是把左侧块整理成单位矩阵——这种状态叫简化行阶梯形。一旦左侧成了单位矩阵，右侧那一列就直接读出答案。

Same system, as an augmented matrix:
[ 2   3 |  8 ]
[ 1  -1 | -1 ]

R1 <-> R2  (get a leading 1 on top):
[ 1  -1 | -1 ]
[ 2   3 |  8 ]

R2 -> R2 - 2*R1  (clear below the leading 1):
[ 1  -1 | -1 ]
[ 0   5 | 10 ]

R2 -> R2 / 5:
[ 1  -1 | -1 ]
[ 0   1 |  2 ]

R1 -> R1 + R2  (clear above):
[ 1   0 |  1 ]
[ 0   1 |  2 ]

Left block is the identity -> read off:  x = 1,  y = 2.

把增广矩阵行简化到简化行阶梯形；答案出现在右侧。