行列式与逆矩阵

方阵的行列式

行列式是我们从一个方阵中提取出的单个数字，记作 det(A) 或 |A|。对 2 × 2 的矩阵它简单得令人愉快：主对角线相乘，另一条对角线相乘，再相减。这一个数字告诉我们矩阵是否可逆。

        [ a  b ]
  A  =  [ c  d ]      det(A) = a*d - b*c

Example:
        [ 4  3 ]
  A  =  [ 2  5 ]      det(A) = 4*5 - 3*2 = 20 - 6 = 14

2×2 行列式：（主对角线）−（副对角线）。

对 3 × 3 的矩阵，我们沿第一行展开：把顶行的每个元素，乘以删去它所在行列后剩下的 2 × 2 行列式，符号交替为 +、−、+。

        [ 1  2  3 ]
  A  =  [ 0  4  5 ]
        [ 1  0  6 ]

det = 1*det[4 5; 0 6] - 2*det[0 5; 1 6] + 3*det[0 4; 1 0]
    = 1*(4*6 - 5*0) - 2*(0*6 - 5*1) + 3*(0*0 - 4*1)
    = 1*(24) - 2*(-5) + 3*(-4)
    = 24 + 10 - 12
    = 22

用交替符号沿顶行展开一个 3×3 行列式。

当行列式为零时

如果 det(A) = 0，这个矩阵就叫奇异矩阵，它没有逆矩阵——就像数字 0 没有倒数一样。非零的行列式意味着矩阵可逆（也称非奇异）。所以行列式是一个“一数定论”的检验：为零就挡住逆矩阵，非零就放行。

构造逆矩阵

A 的逆矩阵记作 A^(-1)，是满足 A · A^(-1) = A^(-1) · A = I（单位矩阵）的那个矩阵。它是倒数的矩阵类比。对 2 × 2 的矩阵有一个简洁的公式：把主对角线的两个元素互换，把副对角线的两个元素变号，再整体除以行列式。

        [ a  b ]                    1     [  d  -b ]
  A  =  [ c  d ]      A^(-1) = --------- [ -c   a ]
                               (ad - bc)

Example: A = [ 4  3 ],  det = 14
             [ 2  5 ]
              1  [  5  -3 ]      [  5/14  -3/14 ]
  A^(-1) = ---- [ -2   4 ]  =   [ -2/14   4/14 ]
            14

Check: A * A^(-1) should give the 2x2 identity I.

2×2 逆矩阵：主对角线互换，副对角线变号，再除以行列式。