矩阵乘法与单位矩阵

何时能相乘，得到什么形状

矩阵乘法不是逐元素的——它把左矩阵的每一行与右矩阵的每一列配对。约定是：要计算 A · B，A 的列数必须等于 B 的行数。这两个是“内侧”数字；“外侧”数字给出结果的尺寸。

A is (2 x 3),  B is (3 x 2)
        inner: 3 = 3  -> OK to multiply
        outer: 2   2  -> product is (2 x 2)

( m x n ) * ( n x p ) = ( m x p )
The inner n's must match and then vanish.

行乘列的配方

乘积中第 i 行第 j 列的元素，是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的点积：把对应的数字相乘再求和。把每一组（行、列）配对都走一遍，就能填满整个乘积。

1. 选 A 的一行和 B 的一列。
2. 把它们的第一个元素相乘、第二个元素相乘，依此类推。
3. 把这些乘积加成一个数——这就是答案的一个元素。
4. 对每一组行—列配对重复，填满整个乘积。

[ 1  2 ]   [ 5  6 ]
[ 3  4 ] * [ 7  8 ]

row1 . col1 = 1*5 + 2*7 = 5 + 14 = 19
row1 . col2 = 1*6 + 2*8 = 6 + 16 = 22
row2 . col1 = 3*5 + 4*7 = 15 + 28 = 43
row2 . col2 = 3*6 + 4*8 = 18 + 32 = 50

Result = [ 19  22 ]
         [ 43  50 ]

次序重要；单位矩阵不改变任何东西

与数字不同，矩阵乘法不满足交换律：一般来说 A · B ≠ B · A。有时 B · A 甚至不是一个合法的乘积，因为形状对不上。所以交换律在这里失效——次序是含义的一部分。

单位矩阵 I 是乘法的锚点：对任何尺寸吻合的方阵 A，都有 A · I = I · A = A。它在矩阵乘法中扮演的角色，正是数字 1 在普通乘法中扮演的角色，这也是为什么下一篇可以谈逆矩阵——把 A 乘回 I 的那个矩阵。