矩阵运算：加法、数乘与转置

逐元素相加

矩阵加法是所有运算中最友好的：要把两个矩阵相加，只需把处于相同位置的元素对应相加。只有一条规则——两个矩阵的维数必须相同，否则有些元素就没有搭档，和也就无定义。

[ 2  -1 ]   [ 4   5 ]   [ 2+4   -1+5 ]   [ 6   4 ]
[ 0   3 ] + [ 1  -2 ] = [ 0+1    3-2 ] = [ 1   1 ]

Same shape in, same shape out. Add matching positions.

把两个 2×2 矩阵逐位置相加。

数乘：把矩阵放大

标量就是普通的数字（用来与矩阵区分）。数乘的意思是把矩阵的每个元素都乘以这一个数。乘以 3 就把每个元素变成三倍；乘以 −1 就把每个符号翻转，这正是我们构造矩阵的相反数、从而进行减法的方法：A − B = A + (−1)B。

          [ 2  -1 ]   [ 3*2   3*(-1) ]   [ 6  -3 ]
     3 *  [ 0   4 ] = [ 3*0   3*4    ] = [ 0  12 ]

Subtraction via scaling by -1:
[ 5  2 ]   [ 1  3 ]   [ 5  2 ]   [ -1  -3 ]   [ 4  -1 ]
[ 1  0 ] - [ 2  4 ] = [ 1  0 ] + [ -2  -4 ] = [-1  -4 ]

乘以 3，以及通过加上 (−1) 倍矩阵来做减法。

转置：沿对角线翻折

矩阵 A 的转置记作 A^T，它把行变成列、把列变成行。第一行变成第一列，第二行变成第二列，依此类推——就像把方阵沿主对角线反射一样。2 × 3 的矩阵转置成 3 × 2 的矩阵；维数互换。

        [ 2  -1   0 ]                 [  2   5 ]
  A  =  [ 5   3   7 ]    =>    A^T =  [ -1   3 ]
        (2 x 3)                       [  0   7 ]
                                       (3 x 2)

Row 1 of A  ->  Column 1 of A^T
The entry a(i,j) lands at position (j,i).

转置把行与列互换；元素 (i,j) 移到 (j,i)。