对数：还原指数

对数所问的问题

乘方取一个底数和一个幂，给出结果：2 的 3 次方是 8。对数把这一过程倒过来。它取底数和结果，给出幂：从底 2 与结果 8 出发，它问“要把 2 升到几次方才得到 8？”答案是 3。我们写作 log₂ 8 = 3，读作“以 2 为底 8 的对数等于 3”。

所以对数不过是乔装的指数——你一直在找的那个指数。整个主题中最有用的一条事实是：两种形式说的是同一回事，你可以在它们之间自由互换：

EXPONENTIAL FORM   <===>   LOGARITHM FORM
     b^y = x                log_b(x) = y

The base b is the same in both.
The log's answer (y) is the exponent.

Examples:
  2^3 = 8        becomes  log_2(8)  = 3
  10^2 = 100     becomes  log_10(100) = 2
  5^0 = 1        becomes  log_5(1)  = 0
  3^(-2) = 1/9   becomes  log_3(1/9) = -2

同一陈述，两套外衣——多练互换。

对数与指数互为逆

因为彼此互相还原，对数函数 log_b(x) 是指数函数 b^x 的反函数。指数函数是一对一的——每个输出恰好来自一个输入——这正是它能拥有反函数的条件。把一个喂给另一个就相互抵消：b^(log_b x) = x 且 log_b(b^x) = x。

两个值得记住的底

有两个底用得太频繁，于是有了简写名。常用对数以 10 为底，简记为 log x（不写下标）——契合我们的十进制数系与科学记数法。自然对数以 e 为底，记为 ln x——是自然指数 e^x 的反函数，在科学中处处出现。见到无底的 log，默认为 10；见到 ln，底是 e。

Common log (base 10), written log:
  log 1000 = 3     because 10^3 = 1000
  log 100  = 2     because 10^2 = 100
  log 1    = 0     because 10^0 = 1
  log 0.01 = -2    because 10^(-2) = 0.01

Natural log (base e), written ln:
  ln e   = 1       because e^1 = e
  ln 1   = 0       because e^0 = 1
  ln(e^5) = 5      because ln undoes e^(...)

log 指底 10；ln 指底 e——读每道题都要记住这一点。