把利息推向极限
把 1 美元存入年利率 100% 的账户。年末一次付清得 2 美元。但假设分两期、每半年付 50%：半年时得 1·(1.5) = 1.5，年末得 1.5·(1.5) = 2.25——更多，因为上半年的利息*本身*也生了息。改为按月、按日、每一瞬间付，年末总额继续攀升——却并非无界。它逼近一个确定的数。
Value after one year = (1 + 1/n)^n for n payments n = 1 (1 + 1/1)^1 = 2.00000 n = 2 (1 + 1/2)^2 = 2.25000 n = 4 (1 + 1/4)^4 = 2.44141 n = 12 (1 + 1/12)^12 = 2.61304 n = 365 (1 + 1/365)^365 = 2.71457 n = 1000000 (...)^1000000 = 2.71828... As n grows, the total settles on e = 2.718281828...
那个极限数是 e = 2.718281828……它是一个无理数——小数永不循环——事实上还是超越数，意即没有任何整系数多项式方程以它为根。我们像携带 π 一样把它记作符号 e，只在最后一步才动用计算器。
为何称这个底数为自然
自然指数函数是 f(x) = e^x。它被称作*自然*，是因为它描述任何这样的量：其增长速率在每一瞬间都与当下已有的量成正比——持续计息的储蓄、细胞菌落、逐渐冷却到室温的热咖啡。凡是以现有之物为本、不停地增长之物，都受 e 支配。
对随时间 t 以速率 r 连续增长的量，模型为 A = A₀·e^(rt)，其中 A₀ 是初始量。r 为正则增长，为负则衰减。由于 e^x 本身就是底为 e > 1 的指数函数，其图像与上一篇的曲线同形：恒为正，左侧贴近 x 轴，右侧上升，过点 (0, 1)。