加法与乘法之别
直线每一步增加相同的*量*：从 100 出发，加 30 得 130，再加 30 得 160。变化量恒定。指数函数每一步乘以相同的*倍数*：从 100 出发，乘 1.3 得 130，再乘 1.3 得 169。变化量本身越来越大，因为你取的是一个本身正在增长的数的百分比。
我们把指数函数写成 f(x) = a·b^x。数 a 是初始值（x = 0 时的值，因为 b^0 = 1）。数 b 是底数——x 每增加一，就乘上的那个倍数。这正是等比数列背后的规则，其中 b 扮演公比的角色；指数函数就是把那个相乘的规律变得连续。
Linear y = 100 + 30x Exponential y = 100·(1.3)^x x | linear x | exponential 0 | 100 0 | 100 1 | 130 1 | 130 2 | 160 2 | 169 3 | 190 3 | 219.7 4 | 220 4 | 285.6 Linear: each step adds 30 (constant gap). Exponential: each step multiplies by 1.3 (constant ratio).
底数决定一切
对指数函数 f(x) = a·b^x，我们总要求 b > 0 且 b ≠ 1。若 b > 1，每步乘以 b 使值上升——这是指数增长。若 0 < b < 1，每步乘以一个小于一的数使值趋向零——这是指数衰减。底数 b = 1 被排除，因为乘以一从不改变任何东西；函数会沦为平坦的常数 a。
注意指数函数与 x^2 这类幂的区别。在幂中变量在底上、指数固定；在指数函数中变量在[[exponent|指数]]上、底固定。这一交换就是全部差异：x^2 像抛物线那样增长，但 2^x 终将超越它以及任何多项式，无论其次数多高。
图像长什么样
每个 a > 0 的指数函数 a·b^x 都恒为正——其图像永不触及 x 轴。当 x 向一侧远去，曲线贴近该轴却永不抵达（y = 0 处有水平渐近线），而向另一侧则向上飞升。增长曲线从左到右上升；衰减曲线下降。y 轴截距总是 a，因为令 x = 0 得 a·b^0 = a·1 = a。
Growth: y = 2^x Decay: y = (1/2)^x x | y x | y -2 | 1/4 = 0.25 -2 | 4 -1 | 1/2 = 0.5 -1 | 2 0 | 1 0 | 1 1 | 2 1 | 1/2 2 | 4 2 | 1/4 3 | 8 3 | 1/8 Note: (1/2)^x = 2^(-x), so decay is just growth read backwards — a mirror across the y-axis.