直线即恒定的变化率
一种关系之所以是线性的，是因为它的 变化率 恒定：x 每增加一个单位，y 就改变同样的量，也就是 斜率 m。这正是图像为一条直线的原因。在真实模型里，y 截距 b 是初始值，斜率 m 是事物增长或减少的速率。
A taxi charges $3 to start plus $2 per mile.
cost y as a function of miles x:
y = 2x + 3
starting value b = 3 (the flat fee)
rate m = 2 ($2 per mile)
x=0: y = 3 x=1: y = 5 x=2: y = 7
every extra mile adds exactly $2 -> constant rate把直线看作函数
一条非竖直的直线是一个 函数：每个输入 x 恰好给出一个输出 y。我们常用函数记号写 线性方程，f(x) = mx + b，于是 f(3) 表示“当 x 为 3 时的 y 值”。你已经熟悉的 斜截式 不过是把这个函数写出来罢了。
f(x) = -3x + 10 f(0) = -3(0) + 10 = 10 point (0, 10) f(2) = -3(2) + 10 = 4 point (2, 4) f(5) = -3(5) + 10 = -5 point (5, -5) Each input x produces one output -> a function. The outputs fall by 3 per step -> slope -3.
正比例：最简洁的直线
正比例 是 y 截距 为 0 的特殊情形，因此直线穿过 原点。我们写成 y = kx，其中 k 是 比例常数——它恰好就是 斜率。x 翻倍，y 也翻倍；直线上每一点的 比值 y/x 都固定为 k。
- 识别正比例：关系能写成 y = kx，没有额外的常数项。
- 由一对已知的 (x, y) 相除求 k：k = y / x。
- 写出规律 y = kx，再用它对任意新的 x 预测 y。
y varies directly with x, and y = 18 when x = 6. k = y / x = 18 / 6 = 3 rule: y = 3x Predict y when x = 10: y = 3(10) = 30 Check the ratio stays constant: 18/6 = 3 30/10 = 3 same k