点斜式、一般式与平行/垂直线

点斜式：从一个点建立直线

假设你知道直线上的一个点 (x1, y1) 和它的斜率 m。点斜式能直接写出这条直线：y − y1 = m(x − x1)。它正是从斜率公式来的——斜率等于 (x, y) 与已知点之间的上升量比水平量——只是把分母乘掉了。

Line through (4, 1) with slope m = 2:

  y - y1 = m(x - x1)
  y - 1  = 2(x - 4)        point-slope form
  y - 1  = 2x - 8          distribute
  y      = 2x - 7          slope-intercept form

Check (4,1):  2(4) - 7 = 8 - 7 = 1   correct

把点和斜率代入点斜式，再化简成 y = mx + b。

一般式：Ax + By = C

直线的一般式是 Ax + By = C，其中 A、B、C 通常取整数，且 A 不为负。它对 x 和 y 一视同仁，因此在处理方程组、快速读取两个截距时很整洁。任何直线都可以改写成这种形式。

Convert y = (2/3)x - 4 to standard form:

  y = (2/3)x - 4
  3y = 2x - 12          multiply through by 3
  -2x + 3y = -12        move the x term left
  2x - 3y = 12          multiply by -1 so A >= 0

Standard form: 2x - 3y = 12   (A=2, B=-3, C=12)

去掉分数，把 x、y 收到一边，让首项系数非负。

用斜率判断平行与垂直

平行线永不相交，原因很简单：它们的斜率相等。垂直线以直角相交，它们的斜率互为负倒数——把分数倒过来再变号。用符号说，若一条斜率为 m，则垂直方向的斜率是它的负乘法逆元，即 −1/m，且两个斜率之积为 −1。

Given line: y = (3/4)x + 1   (slope 3/4)

Parallel line through (8, 0):
  same slope 3/4
  y - 0 = (3/4)(x - 8)
  y = (3/4)x - 6

Perpendicular line through (8, 0):
  slope = negative reciprocal of 3/4 = -4/3
  y - 0 = (-4/3)(x - 8)
  y = (-4/3)x + 32/3

Check perpendicular: (3/4)(-4/3) = -1   right angle

平行保持斜率不变；垂直则把它倒过来再变号。斜率之积为 −1 即可确认。