斜率：用“上升量比水平量”衡量陡峭程度

斜率衡量什么

想象你从左到右沿着一条直线行走。斜率回答一个问题：每横向走一步，你上升或下降多少？ 它是一个比值——竖直变化与水平变化之比。我们用一句话来概括它：上升量比水平量，上升量是竖直变化，水平量是水平变化。

正斜率随你向右移动而上升；负斜率则下降。绝对值越大，直线越陡。我们几乎总是把斜率记作 m。

用两点求斜率的公式

给我直线上任意两点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我就能算出斜率。上升量是两个 y 值之差，水平量是两个 x 值之差，按相同的顺序相减：

         y2 - y1
    m = ---------
         x2 - x1

Example: line through (1, 2) and (4, 8)

         8 - 2     6
    m = ------- = ---- = 2
         4 - 1     3

Check by swapping the order of the points:

         2 - 8     -6
    m = ------- = ---- = 2     same answer
         1 - 4     -3

y 之差除以 x 之差，且顺序一致。两点同时调换顺序，斜率不变。

零斜率与无定义斜率

有两条特殊的直线会把公式推到极端。水平线永远不上升，所以上升量是 0，斜率是 0。竖直线永远不水平移动，所以水平量是 0——而除以 0 是无定义的，因此竖直线根本没有斜率（我们说斜率无定义，而不是 0）。

Horizontal line through (1, 3) and (5, 3):
         3 - 3     0
    m = ------- = ---- = 0          slope is 0
         5 - 1     4

Vertical line through (2, 1) and (2, 7):
         7 - 1     6
    m = ------- = ----  -> divide by 0
         2 - 2     0               slope UNDEFINED

平的就是零斜率；直上直下就是无定义斜率。