Cartan 子代数与根空间分解
在 ℂ 上的半单 L 中，选一个 Cartan 子代数 H：极大的、交换的、由*半单*（可对角化）元素组成的子代数——一个极大环面。由于 H 的元素交换且可对角化，算子 ad(h)（h ∈ H）在 L 上*可同时*对角化。把 L 分解为它们的公共特征子空间。每一块上的特征值是一个线性泛函 α ∈ H*，非零的那些就是根。
这给出根空间分解 L = H ⊕ (⊕_{α∈Φ} L_α)，其中 L_α = {x : 对一切 h ∈ H 有 [h,x]=α(h)x}，Φ ⊂ H* 是根的有限集。每个根空间 L_α 一维。括号尊重分级：[L_α, L_β] ⊆ L_{α+β}。于是整个代数由 H、根，以及这些加法移位规则重构出来——把一个可能很大的代数惊人地压缩为有限的组合图象。
sl(3,C): dim 8. H = diagonal traceless matrices, dim 2.
h = diag(a, b, c) with a+b+c = 0.
Root spaces: each off-diagonal E_ij (i != j) is a root vector.
[h, E_ij] = (h_i - h_j) E_ij, so the root is alpha_ij(h) = h_i - h_j.
Let L_i be the functional h -> h_i. Roots:
Phi = { L_i - L_j : i != j } = six roots in the 2-dim space H*.
Simple roots: alpha = L_1 - L_2 , beta = L_2 - L_3.
The six roots: +-alpha, +-beta, +-(alpha+beta).
Lengths/angles via the Killing form:
|alpha| = |beta|, angle(alpha,beta) = 120 degrees.
This is the root system A_2 : a regular hexagon.
Cartan integers (the matrix):
<alpha,beta> = 2(alpha,beta)/(beta,beta) = -1, <beta,alpha> = -1
Cartan matrix A_2 = [ 2, -1; -1, 2 ].
Dynkin diagram: two nodes joined by a single edge: o---o根系：整性与反射
把欧氏空间 E 中的 根系 Φ 抽象出来（内积来自 Killing 形式）。公理简省却凶猛：（1）Φ 有限、张成 E，且 0 ∉ Φ；（2）α ∈ Φ 的倍数中仅 ±α 为根；（3）过 α 的垂直超平面的反射 s_α 置换 Φ；（4）Cartan 整数 ⟨β,α⟩ = 2(β,α)/(α,α) 对一切 α,β ∈ Φ 为整数。公理（4）是秘密武器：一个连续几何对象被强制落到整数格上。
Dynkin 图与分类
选一组单根基 Δ ⊆ Φ：每个根都是它们的非负或非正整系数组合。把它们两两的 Cartan 整数记入 Cartan 矩阵，再画出 Dynkin 图：每个单根一个节点，α 与 β 之间连 ⟨α,β⟩⟨β,α⟩ ∈ {0,1,2,3} 条边，长度不同时由长根指向短根加一个箭头。根系的全部刚性都坍缩进这张小小的带标记图。
宏大定理：连通 Dynkin 图被完全分类，每一个恰对应一个复 单李代数。名单是四个无穷族——A_n（sl(n+1)）、B_n（so(2n+1)）、C_n（sp(2n)）、D_n（so(2n)）——加五个例外 E_6、E_7、E_8、F_4、G_2。这就是复单李代数的全部宇宙。一个连续对称的分类问题竟有完全离散、有限的答案；这是全部代数中最美的结果之一。