根基与半单的定义
每个有限维李代数 L 有唯一极大可解理想，即根基 rad(L)（两个可解理想之和仍可解，故存在最大者）。定义 L 为 半单的，若 rad(L)=0——根本没有非零可解理想。商 L/rad(L) 总是半单，因此除去可解的“噪声”，每个李代数都归结为一个半单代数。单李代数是非交换且除 0 与自身外无理想者；而半单恰好等于若干单理想的直和。
Killing 形式与 Cartan 判别法
Killing 形式 是 对称双线性形式 κ(x,y)=tr(ad(x)∘ad(y))。它仅由括号构造，且结合（不变）：κ([x,y],z)=κ(x,[y,z])。这一不变性迫使其根 {x:κ(x,·)=0} 成为理想。Cartan 判别法：L 半单当且仅当 κ 非退化。（伴随判别法：L 可解当且仅当 κ(L,[L,L])=0。）于是单个双线性形式就判定半单性——这是整个理论的计算核心。
Killing form of sl(2,C). Basis (h,e,f), [h,e]=2e, [h,f]=-2f, [e,f]=h.
Write ad(x) as a 3x3 matrix in the ordered basis (h,e,f).
ad(h): h->0, e->[h,e]=2e, f->[h,f]=-2f
ad(h) = [0, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, -2]
ad(e): h->[e,h]=-2e, e->[e,e]=0, f->[e,f]=h
ad(e) = [0, 0, 1; -2, 0, 0; 0, 0, 0]
ad(f): h->[f,h]=2f, e->[f,e]=-h, f->0
ad(f) = [0, -1, 0; 0, 0, 0; 2, 0, 0]
kappa(x,y) = tr( ad(x) ad(y) ):
kappa(h,h) = tr(ad(h)^2) = 0^2 + 2^2 + (-2)^2 = 8
kappa(e,f) = tr(ad(e) ad(f)):
ad(e)ad(f) = [0,0,1;-2,0,0;0,0,0][0,-1,0;0,0,0;2,0,0]
= [2, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, 0], trace = 4
kappa(h,e)=kappa(h,f)=kappa(e,e)=kappa(f,f)=0.
Gram matrix in (h,e,f): [8, 0, 0; 0, 0, 4; 0, 4, 0]
det = 8 * ( 0*0 - 4*4 ) = 8 * (-16) = -128 != 0.
Nondegenerate ==> sl(2,C) is semisimple (indeed simple).非退化带来的好处
- 分解：半单 L 是单理想的直和 L = L_1 ⊕ … ⊕ L_r，在 κ 下正交，且分解唯一。
- L = [L,L]：半单代数等于自身的导出代数，故无非零交换商。
- Weyl 定理：半单 L 的每个有限维表示都完全可约——不可约表示的直和。
- ad 单射：Z(L)=0，故 L 嵌入 gl(L)；每个导子都是内导子。半单代数是刚性的。
完全可约的陈述——表示的 完全可约性——是有限群 Maschke 定理 的对应，正是它让我们能按最高权分类半单代数的*表示*。但在表示之前，我们需要 L 内部的一套坐标。那套坐标就是最后一篇的 Cartan 子代数与根系；非退化的 Killing 形式恰是使根成为真正几何向量的内积。