两条链：导出列与下中心列
定义导出列 L^{(0)}=L，L^{(1)}=[L,L]，L^{(k+1)}=[L^{(k)},L^{(k)}]。若它达到 0，则 L 是 可解的。定义下中心列 L^0=L，L^1=[L,L]，L^{k+1}=[L,L^k]。若*这条*达到 0，则 L 是 幂零的。由于 L^{(k)}⊆L^k，幂零 ⇒ 可解，反之不然。这正是 可解群 与 幂零群 的对应，括号取代了群换位子。
b = upper-triangular 2x2, basis: h=[1,0;0,0], h'=[0,0;0,1], e=[0,1;0,0]
(equivalently span of diagonal d=h, d'=h', and e).
Derived series of b:
[b,b] = span{ [d, e] } : [diag, e] is a multiple of e, [d,d']=0
so b^(1) = [b,b] = span{e} (1-dimensional, abelian)
b^(2) = [b^(1), b^(1)] = [span e, span e] = 0
--> derived series: b ⊃ <e> ⊃ 0. b is SOLVABLE.
Lower central series of b:
b^1 = [b,b] = span{e}
b^2 = [b, span e] = span{ [d,e], [d',e], [e,e] } = span{e} (NOT smaller!)
b^3 = [b, span e] = span{e} ... stabilizes at <e>, never 0.
--> b is NOT nilpotent.
Now n = strictly upper-triangular (just span{e}): [n,n]=0, abelian,
hence n is nilpotent (and solvable). Contrast: n nilpotent, b only solvable.Engel 定理
称 x ∈ L 为 ad-幂零，若 ad(x) 是幂零算子。Engel 定理 说：有限维李代数 L 幂零当且仅当每个元素都 ad-幂零。一个方向容易；实质在逆命题。其尖锐形式（其余皆由它推出）是关于线性李代数的陈述：若 L⊆gl(V) 由幂零算子组成且 V≠0，则存在非零 v ∈ V 被整个 L 零化（Lv=0）。迭代之，便得到一面完整的旗，其中 L 的每个元素都严格上三角。
Lie 定理与共同的找旗思想
Lie 定理 是可解情形的对应，它需要特征 0 的代数闭域（取 ℂ）。它说：若 L⊆gl(V) 可解且 V≠0，则 L 有一个公共特征向量——单个 v 使对一切 x ∈ L 有 x·v=λ(x)v，其中 λ:L→ℂ 线性（一个*权*）。沿旗迭代，每个 x ∈ L 同时上三角。于是在 ℂ 上，可解 = 可同时三角化，正如 Engel 给出幂零 = 可同时严格三角化。
- 两个证明都对 dim L 归纳：剥下一个余维 1 的理想 M（可解性/幂零性提供它）。
- 由归纳为 M 找到公共特征向量（或被零化的向量）；收集特征子空间 V_λ。
- 证明 V_λ 在剩余方向 x∉M 下不变（Lie 的关键引理：λ([x,m])=0）；在 V_λ 上对角化 x 以延拓特征向量。