子代数、理想，以及通往李群的桥梁

子代数与理想之别

子空间 M⊆L 若满足 [M,M]⊆M 则为子代数，若满足更强的 [L,M]⊆M 则为理想。这一区别恰是子群与正规子群之别的对应：理想在与*一切*作括号下封闭，正如正规子群在被一切共轭下封闭。并且与群一样，恰当 M 是理想时才能构造商 L/M，其括号为 [x+M,y+M]=[x,y]+M。

总是存在的三个理想：中心 Z(L)={x:对一切 y 有 [x,y]=0}（ad 的核）；导出代数 [L,L]，由所有括号张成，是换位子群的对应；以及 L 自身与 0。同态 φ:L→L′ 的核是理想、像是子代数，同构定理逐字成立：L/ker φ ≅ im φ，等等。若你熟悉群的版本，你已经懂这些了。

Example: the upper-triangular and strictly-upper-triangular subalgebras of gl(3).

b = { upper triangular } = span of E_11, E_22, E_33, E_12, E_13, E_23
n = { strictly upper triangular } = span of E_12, E_13, E_23

Is n an ideal of b?  Check [b, n] subset of n.
  Recall [E_ij, E_kl] = delta_jk E_il - delta_li E_kj.
  [E_11, E_12] = E_12 - 0 = E_12   (in n)
  [E_22, E_12] = 0 - E_12 = -E_12  (in n)
  [E_12, E_23] = E_13 ,  [E_13, anything in n] = 0 here
Every bracket [diagonal or upper, strictly upper] lands in n. So n is an ideal of b.

Quotient b/n:  brackets of diagonal parts vanish mod n, so
  b/n  is abelian, dim 3 (the diagonal h).
Meanwhile [b,b] = n exactly:  the derived algebra of b is n.

n（严格上三角）是 b（上三角）的理想；商 b/n 是交换的对角部分。这是最小的非平凡旗象。

通往李群的桥梁

下面这幅图给整个学科命名。李群 G 是一个同时是光滑流形的群，其乘法与求逆都光滑——想想 GL(n,ℝ)、SO(3)、酉群 U(n)。它的李代数是单位元处的切空间 L=T_eG，配有一个括号。这个括号并非任意：它是*无穷小换位子*。取两个接近单位元的元素，作共轭并展开到二阶，领头的非交换项恰好是 [X,Y]。

每个 X∈L 给出 G 中的一个单参数子群 t↦exp(tX)；矩阵指数 exp(X)=I+X+X²/2+… 是原型。
G 中的共轭微分给出 G 在 L 上的伴随表示 Ad；再对 Ad 微分得到 ad，且 ad(X)(Y)=[X,Y]。
Baker–Campbell–Hausdorff 公式 exp(X)exp(Y)=exp(X+Y+½[X,Y]+…) 仅凭括号数据重组出群乘积。